数学III / 積分法の計算

部分積分(2回)

★★★ 応用部分積分

問題

不定積分 $\int x^{2} e^{x} d x$ を求めよ。

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部分積分を $1$ 回すると、次数が $1$ つ下がった同じ形の積分が残る。もう $1$ 回で仕留める — $2$ 段構えの部分積分。

解答・解説

方針

$x^{2}$ を微分で消すには部分積分を $2$ 回。 $1$ 回目で $x^{2} \to 2 x$ 、 $2$ 回目で $2 x \to 2$ 。 $e^{x}$ は積分しても変わらないので相性がよい。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\int x^{2} e^{x} d x$ を見る。 $x^{2}$ を微分で消したい。

そのために部分積分を $2$ 回くり返す。 $x^{2} \to 2 x \to 2$ と次数が $1$ つずつ下がる。

「多項式×指数は、多項式の次数の数だけ部分積分をくり返す」という発想だ。 $e^{x}$ は積分しても変わらないので相性がよい。

重要多項式 ×

e^{x}

は、多項式の次数の回数だけ部分積分をくり返す

① $1$ 回目の部分積分。 $f = x^{2}$ ( $f^{'} = 2 x$ )、 $g^{'} = e^{x}$ ( $g = e^{x}$ )。

$\int x^{2} e^{x} d x = x^{2} e^{x} - \int 2 x e^{x} d x$

② 残りをもう $1$ 回部分積分する。 $\int 2 x e^{x} d x = 2 \int x e^{x} d x = 2 (x - 1) e^{x}$ ( $x e^{x}$ の積分の結果)。

$= x^{2} e^{x} - 2 (x - 1) e^{x}$

③ $e^{x}$ でくくって整理する。

$= e^{x} {x^{2} - 2 (x - 1)} + C = (x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$

まとめ: $x^{2} e^{x}$ は「 $x^{2}$ が消えるまで部分積分を $2$ 回」。 $x^{2} \to 2 x \to 2$ と次数が下がる。 $e^{x}$ は何回積分しても $e^{x}$ なので、この繰り返しがきれいに進む。 $e^{x}$ でくくって整理するのが仕上げだ。

発展 — 一歩先へ。 $\int x^{2} e^{x} d x$ の計算は、もっと一般の「多項式 $\times e^{x}$ 」に広がる。 $n$ 次多項式 $P (x)$ に対して $\int P (x) e^{x} d x = Q (x) e^{x}$ とおくと、積の微分から $Q + Q^{'} = P$ が必要になる。

これを解くと $Q = P - P^{'} + P^{''} - P^{'''} + \dots$ 、つまり $P$ とその導関数の交代和になる。 $P = x^{2}$ なら $Q = x^{2} - 2 x + 2$ で、確かにいまの答えと一致する。 $P = x^{3}$ なら $Q = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6$ だ。

漸化式で見れば $I_{n} = \int x^{n} e^{x} d x = x^{n} e^{x} - n I_{n - 1}$ 。次数を $1$ つずつ下げるこの関係が、部分積分を「多項式の次数の回数だけ」くり返す仕組みそのものだ。

答

$(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$

別解

別解 — 答えの形を仮定して係数を合わせる(得意な人向けの視点)。 部分積分を実行せず、原始関数の「形」を先に仮定して決められる。

$x^{2} e^{x}$ の原始関数は、 $e^{x}$ に $2$ 次以下の多項式が掛かった形になるはず。そこで

$\int x^{2} e^{x} d x = (a x^{2} + b x + c) e^{x}$

とおき、両辺を微分して係数を比べる。右辺の微分は

$\frac{d}{d x} {(a x^{2} + b x + c) e^{x}} = (a x^{2} + b x + c) e^{x} + (2 a x + b) e^{x} = {a x^{2} + (2 a + b) x + (b + c)} e^{x} .$

これが $x^{2} e^{x}$ と等しいので、 $e^{x}$ を外した多項式どうしを比べて

$a = 1, 2 a + b = 0, b + c = 0.$

順に解くと $a = 1$ 、 $b = - 2$ 、 $c = 2$ 。よって原始関数は $(x^{2} - 2 x + 2) e^{x} + C$ 。

部分積分を $2$ 回まわす本解と同じ答え。積分を実行するかわりに「答えの形を仮定して微分し、係数を比較する」と、連立方程式に持ち込める。次数の高い多項式でも、仮定する多項式の次数を上げるだけで機械的に処理できる。

ポイント

多項式の次数だけ部分積分をくり返す。
$e^{x}$ でくくって整理。

よくある間違い

部分積分を $1$ 回で止めてしまい、 $\int 2 x e^{x} d x$ が残ったまま答えにする。
部分積分の公式の $-$ 符号を落とし、 $2 (x - 1) e^{x}$ の符号を逆にする。
$e^{x}$ を積分するたびに係数が付くと思い込む(実際は $\int e^{x} d x = e^{x}$ で不変)。