定積分(sin²)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\sin }^2$ の定積分 — 不定積分のときと同じく、半角の公式で次数を下げてから積分する。

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /2}\frac{1-\cos 2x}{2}dx={\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]}_0^{\pi /2}$$

上端で $\frac{\pi }{4}-\frac{\sin \pi }{4}=\frac{\pi }{4}$、下端で $0$。答え $\frac{\pi }{4}$。

$\sin 2x$ の項が両端で消える($\sin \pi =\sin 0=0$)ため、実質は $\frac{x}{2}$ の差だけ — この「振動項が区間の端で消える」現象は三角関数の定積分でよく起こる。

① 半角で直して積分する。

$$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}$$

② 代入して引く。 $x=\frac{\pi }{2}$ で $\sin 2x=\sin \pi =0$。$x=0$ で $\sin 0=0$。

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx=[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=(\frac{\pi }{4}-0)-(0-0)=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:${\sin }^{2}x$ の定積分は半角の公式で下げてから。$\sin 2x$ の項は $x=\frac{\pi }{2}$ でも $x=0$ でも $0$ になり消える。残るのは $\frac{x}{2}$ の部分で $\frac{\pi }{4}$。

発展 — 一歩先へ。 答え $\frac{\pi }{4}$ は「区間幅 $\frac{\pi }{2}$ $\times$ 平均の高さ $\frac{1}{2}$」と読める。${\sin }^2$ の平均が $\frac{1}{2}$ — 交流電流の実効値の計算と同じで、コンセントの「$100$V」は振幅 $141$V の波の ${\sin }^2$ 平均から来た値だ。

${\sin }^4,{\sin }^6,\dots$ と偶数乗を上げていくと、この区間の積分は $\frac{\pi }{4}\cdot \frac{3}{4},\frac{\pi }{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6},\dots$ と規則的に縮む(ウォリスの公式)。${\sin }^2$ の $\frac{\pi }{4}$ は、その無限の階段の最初の一段である。

別解

この区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ には特別な対称性があり、積分をまったく計算せずに $\frac{\pi }{4}$ が出せる。

$I={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx$ と、相棒 $J={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx$ を並べる。

観察 $1$: $I=J$。 区間を $x\to \frac{\pi }{2}-x$ と裏返すと($0$ と $\frac{\pi }{2}$ が入れ替わるだけで区間は同じ)、$\sin$ は $\cos$ に変わる($\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$)。つまり ${\sin }^2$ の山と ${\cos }^2$ の山は、この区間の中で鏡写し — 面積は等しい。

観察 $2$: $I+J=\frac{\pi }{2}$。 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ を積分すれば、幅 $\frac{\pi }{2}$ の長方形の面積そのもの。

$2$ つ合わせて $2I=\frac{\pi }{2}$、$I=\frac{\pi }{4}$。

「対称で等しい $2$ つに割る」— ケーキを公平に切る発想だ。この区間の $\sin \leftrightarrow \cos$ 交換(King Property と呼ばれる技の特別な場合)は、もっと複雑な定積分(${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ など)で絶大な威力を発揮する。