定積分(指数関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e^x$ の原始関数は、$e^x$ 自身だ。

$$\int e^{x}dx=e^x+C$$

微分しても積分しても、姿が変わらない。 これが $e^x$ の特権である。

あとは、端点を代入して引くだけ。

$${\int }_0^1{e}^{x}dx={\left[e^x\right]}_0^1=e^1-e^0=e-1$$

$e^0=1$ を忘れないこと。 どんな数の $0$ 乗も $1$ だ。

$$e-1\approx 2.718-1=1.718$$

この値の意味を、確かめておこう。

$y=e^x$ は、$x=0$ で高さ $1$、$x=1$ で高さ $e\approx 2.72$ の曲線。

もし直線(台形)なら、面積は $\frac{1+2.72}{2}\times 1=1.86$。

実際の面積 $1.72$ は、それより少し小さい。 曲線が下に凸で、台形の斜辺より下にあるからだ。

答えが出たら、大きさの見当と合うか確かめる。 それが検算になる。

① 原始関数は $e^x$。

② 代入して引く。 $e^0=1$。

$${\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e^1-e^0=e-1$$

まとめ:$e^x$ の定積分は「$e^x$ に上端・下端を代入して引く」。$e^0=1$ を忘れずに。$e-1\approx 1.72$ が、$e^x$ と $x$ 軸が $[0,1]$ で囲む面積になる。

発展 — 一歩先へ。 「微分しても積分しても変わらない」— $e^x$ のこの性質は、微分方程式の世界で王座に君臨する。

もっとも基本的な微分方程式は、これだ。

$$y^{\prime }=y$$

解は $y=C{e}^x$。 他にはない。

では、$2$ 階の微分方程式なら?

$$y^{\prime \prime }=y$$

「$2$ 回微分すると、自分に戻る」

解は $y=A{e}^x+B{e}^{-x}$。 やはり指数関数だ。

次に、符号を変えてみる。

$$y^{\prime \prime }=-y$$

「$2$ 回微分すると、自分の $-1$ 倍」

この解は $y=A\cos x+B\sin x$ — 三角関数になる!

$y^{\prime \prime }=y$ なら指数関数、$y^{\prime \prime }=-y$ なら三角関数。

符号 $1$ つで、まったく違う世界が現れる。

そして、この $2$ つを橋渡しするのが、複素数だ。

$$y^{\prime \prime }=-y⟹y=e^{ix}\text{も解}$$

確かめる。 $(e^{ix}{)}^{\prime \prime }=(i{e}^{ix}{)}^{\prime }=i^2{e}^{ix}=-e^{ix}$ ✓

指数関数の肩に $i$ をつけると、三角関数になる。

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

オイラーの公式が、微分方程式の側から現れた。

この構造が、物理学のすべてを支配している。

指数的な成長・減衰($y^{\prime }=ky$)。

• 人口、複利、放射性崩壊、細菌の増殖

振動($y^{\prime \prime }=-{\omega }^{2}y$)。

• バネ、振り子、音波、光波、電磁波

そして、両方が混ざった減衰振動。

$$y^{\prime \prime }+2\gamma y^{\prime }+{\omega }^{2}y=0$$

解は $y=A{e}^{-\gamma t}\cos ({\omega }^{\prime }t+\varphi )$ — 指数的に減衰しながら振動する。

車のサスペンション、建物の耐震設計、電気回路 — すべてこの方程式で設計される。

そして、量子力学の基本方程式(シュレーディンガー方程式)も、$e^{i\cdots }$ の形をしている。

$$\psi (x,t)={\psi }_0{e}^{i(kx-\omega t)}$$

「世界は $e$ でできている」と言われる所以だ。

${\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$ という、$1$ 行の計算。

その背後には、指数関数が微分方程式の解として君臨する、壮大な理由が控えている。

別解

面積の定義(長方形の足し上げ)から、$e-1$ を出してみる。

「なぜ $e-1$ になるのか」を、原始関数を使わずに確かめる別解である。

区間 $[0,1]$ を $n$ 等分し、長方形の面積を足す。

$$S_n=\sum _{k=1}^n{e}^{k/n}\cdot \frac{1}{n}$$

この和を、じっと見てほしい。

$$e^{1/n},e^{2/n},e^{3/n},\dots ,e^{n/n}$$

これは、公比 $e^{1/n}$ の等比数列だ!

($e^{k/n}={\left(e^{1/n}\right)}^k$ だから。)

等比数列の和の公式が使える。 初項 $a=e^{1/n}$、公比 $r=e^{1/n}$、項数 $n$。

$$\sum _{k=1}^n{\left(e^{1/n}\right)}^k=e^{1/n}\cdot \frac{{\left(e^{1/n}\right)}^n-1}{e^{1/n}-1}=e^{1/n}\cdot \frac{e-1}{e^{1/n}-1}$$

(${\left(e^{1/n}\right)}^n=e^1=e$ となるのが、気持ちいい。)

$\frac{1}{n}$ を掛けて

$$S_n=\frac{1}{n}\cdot e^{1/n}\cdot \frac{e-1}{e^{1/n}-1}$$

$n\to \infty$ の極限をとる。

$h=\frac{1}{n}$ とおくと、$h\to 0$。

$$S_n=e^h\cdot (e-1)\cdot \frac{h}{e^h-1}$$

ここで、$2$ つの極限を使う。

$$e^h\to 1,\frac{e^h-1}{h}\to 1(\text{つまり }\frac{h}{e^h-1}\to 1)$$

($2$ 番目は、$e^x$ の $x=0$ での微分係数が $1$ であることに他ならない。)

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=1\times (e-1)\times 1=e-1$$

面積は $e-1$ ✓ 原始関数を使わずに導けた。

数値で確かめよう。

$$S_{100}=1.7269,S_{10000}=1.71837$$

$e-1=1.71828\dots$ に近づいている ✓

この計算から見えること。

指数関数の積分が $e^x$ そのものになる理由が、等比数列の性質に根ざしている。

$e^x$ は、「等間隔で見ると、等比数列になる」関数だ。

$$e^0,e^h,e^{2h},e^{3h},\dots$$

どの隣どうしの比も、$e^h$ で一定。

和をとると、等比数列の和の公式で「初項と末項の差」が出てくる。

$$\text{和}\propto \frac{e-1}{e^h-1}$$

そして極限をとると、$e^x$ の値の差 $F(b)-F(a)$ の形が現れる。

「等比数列の和 → 指数関数の積分」

離散の世界の等比数列が、連続の世界では指数関数になり、その和が積分になる。

数列(数学B)と微積分(数学III)が、ここで $1$ 本につながる。