置換積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 被積分関数 $x{e}^{x^2}$ を見る。$e^{x^2}$ の指数 $x^2$ の微分は $2x$ で、前の $x$ がその一部になっている。

こういう「中身の微分が外にある」形は、置換積分の合図。

$t=x^2$ とおけば $xdx$ がまとめて $\frac{1}{2}dt$ に置きかわり、$\int e^{t}dt$ という簡単な積分になる。

定積分なので、区間も $x$ から $t$ に直しておく、と見通す。

① 置換する。 $t=x^2$ とおくと $dt=2xdx$、すなわち $xdx=\frac{1}{2}dt$。区間は $x:0\to 1$ に対して $t:0\to 1$。

② 積分する。

$${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx={\int }_0^1{e}^t\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}[e^t{]}_0^1=\frac{1}{2}(e-1)$$

よって $\frac{e-1}{2}$。

まとめ:「中身の微分が外にある」形は置換積分。$t=x^2$ で $xdx=\frac{1}{2}dt$ とまとめ、$\int e^{t}dt$ に。定積分は区間も $t$ に直せば、$x$ に戻す手間が省ける。$x$ の前の係数と $dt$ の関係($xdx=\frac{1}{2}dt$)を正確に。

発展 — 一歩先へ。 置換積分は「合成関数の微分(連鎖律)の逆回し」。$\frac{d}{dx}{e}^{x^2}=e^{x^2}\cdot 2x$ を逆から読めば、$\int 2x{e}^{x^2}dx=e^{x^2}$。前の係数を合わせれば今回の積分になる。

一般に「$g^{\prime }(x)h(g(x))$」の形は、$H$ を $h$ の原始関数として $H(g(x))$ が原始関数。$\int g^{\prime }{e}^g=e^g$、$\int g^{\prime }\cos g=\sin g$ など、パターンは同じ。

だから被積分関数を見たら「中身とその微分が両方いるか」をまず探す。いれば置換で一気に片づく。

別解

別解 — 原始関数を見抜いて検算する(得意な人向けの視点)。 置換を書き下さなくても、$x{e}^{x^2}$ の原始関数を「あたりをつけて」微分で確かめられる。

$e^{x^2}$ を微分すると $2x{e}^{x^2}$。前に $x$ が $1$ つだから、原始関数は $\frac{1}{2}{e}^{x^2}$ と見当がつく。確かめると

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}{e}^{x^2}\right)=\frac{1}{2}\cdot e^{x^2}\cdot 2x=x{e}^{x^2}.$$

ぴたり一致。あとは代入するだけ。

$${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx={\left[\frac{1}{2}{e}^{x^2}\right]}_0^1=\frac{1}{2}(e-1).$$

$t=x^2$ と置換する本解と同じ。置換に慣れると、こうして「原始関数を予想 → 微分で検算」と暗算に近い形で進める。係数 $\frac{1}{2}$ は「$2x$ の $2$ を打ち消す」ぶんだと分かる。