数学III / 積分法の計算

log x の積分

★★ 標準部分積分

問題

不定積分 $\int lo g x d x$ を求めよ。

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$lo g x$ 単独の積分は、 $1 \times lo g x$ とみなして部分積分するのが有名な一手。どちらを微分する側にするか考えてみよう。

解答・解説

方針

$lo g x$ を「 $1 \times lo g x$ 」とみて部分積分する。 $f = lo g x$ 、 $g^{'} = 1$ ( $g = x$ )。 $lo g x$ を微分すると $\frac{1}{x}$ になり、 $x$ と約分できる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $lo g x$ 単独 — 積の形に見えないのに部分積分?ここが有名な発想の飛躍だ。

$lo g x = 1 \times lo g x$

と、見えない $1$ を掛けて無理やり積にする。 $f = lo g x$ (微分すると $\frac{1}{x}$ に化けて簡単になる)、 $g^{'} = 1$ ( $g = x$ )で部分積分すると

$\int lo g x d x = x lo g x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x lo g x - \int 1 d x = x lo g x - x + C$

$x$ と $\frac{1}{x}$ の約分で残りが $1$ に潰れる — この鮮やかさが「 $1$ を掛ける」技の狙いである。

重要

lo g x

は「

1 \times lo g x

」とみて部分積分(

g^{'} = 1

、

g = x

)

① $f$ 、 $g^{'}$ を決める。 $f = lo g x$ ( $f^{'} = \frac{1}{x}$ )、 $g^{'} = 1$ ( $g = x$ )。

② 部分積分の公式にあてはめる。

$\int lo g x d x = x lo g x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x lo g x - \int 1 d x$

③ 残りを積分する。

$= x lo g x - x + C$

まとめ: $lo g x$ 単独の積分は「 $1 \times lo g x$ とみて部分積分」という有名なテクニック。 $g^{'} = 1$ 、 $g = x$ とすると、 $\int x \cdot \frac{1}{x} = \int 1 = x$ ときれいに約分できる。答え $x lo g x - x$ を微分すると $lo g x$ に戻る。

発展 — 一歩先へ。 同じ「 $1$ を掛ける」技で $\int (lo g x)^{2} d x$ ( $2$ 回部分積分)や、逆三角関数の積分(大学)も落ちる。「微分すると簡単になるが、積分の仕方が見えない関数」— $lo g$ 系・逆関数系はすべてこの型で、 $g^{'} = 1$ が共通の合鍵になる。

$x lo g x - x = x (lo g x - 1)$ と書くと、 $x = e$ でちょうど $0$ になることが見える。定積分 $\int_{1}^{e} lo g x d x$ の計算(次の問題)で、この形の便利さが実感できるはずだ。

答

$x lo g x - x + C$

別解

「 $1$ を掛ける」が天下りに感じるなら、予想して補正する素朴なルートで同じ答えに届く。

$lo g x$ の原始関数の第一候補は、微分と逆に考えて $x lo g x$ あたりだろう。試しに微分してみる(積の微分)。

$(x lo g x)^{'} = lo g x + x \cdot \frac{1}{x} = lo g x + 1$

惜しい — $lo g x$ だけ欲しいのに、余計な $+ 1$ が付いてきた。

なら、微分して $1$ になるもの(つまり $x$ )を引いて、お釣りを消せばいい。

$(x lo g x - x)^{'} = (lo g x + 1) - 1 = lo g x$

ぴったり。よって $\int lo g x d x = x lo g x - x + C$ 。

「候補を微分 → ずれを見る → ずれを打ち消す項を足す」— この試行錯誤は、部分積分の公式が裏でやっていることの手動版だ。公式を忘れても、予想と補正で積分は前に進める。

ポイント

$lo g x = 1 \times lo g x$ とみて部分積分。
$g^{'} = 1$ 、 $g = x$ 。 $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ で約分。

よくある間違い

$\int lo g x d x = \frac{1}{x} + C$ とする(それは微分。積分は逆演算)
部分積分の役を逆( $f = 1$ 、 $g^{'} = lo g x$ )にして $lo g x$ の原始関数が必要になり循環する
$- x$ の補正項を落として $x lo g x + C$ と答える(微分すると $+ 1$ が余る)