三角関数の有理式(半角の置換と対称性)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母に $\sin$ と $\cos$ が混ざっている。三角関数の有理式だ。

こういうときの万能薬が $t=\tan \frac{x}{2}$ である。$\sin x$ も $\cos x$ も $t$ の有理式になり、$dx$ まで $t$ の有理式になる。三角関数の積分が、有理関数の積分に化けるのだ。

(2)は別の工夫が要る。$\frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x}$ を単独で置換しても計算できるが、かなり重い。

そこで $\cos$ 版の積分も一緒に考える。区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ では $x\to \frac{\pi }{2}-x$ の折り返しで $\sin$ と $\cos$ が入れ替わり、分母は変わらない。だから2つの積分は等しい。しかも足すと分子が $\sin x+\cos x$ になり、分母 $1+\sin x+\cos x$ と「$1$ だけ違う」。ここから一気に片づく。

① (1) 半角の置換。 $t=\tan \frac{x}{2}$ とおく。$x:0\to \frac{\pi }{2}$ のとき $t:0\to \tan \frac{\pi }{4}=1$ である(置換するのは $\frac{x}{2}$ であって $x$ ではない)。分母を計算すると

$$1+\sin x+\cos x=1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{\left(1+t^2\right)+2t+\left(1-t^2\right)}{1+t^2}=\frac{2(1+t)}{1+t^2}$$

$t^2$ の項が消えるのが気持ちよい。よって

$$\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}=\frac{2dt}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{2(1+t)}=\frac{dt}{1+t}$$

$1+t^2$ がきれいに約分された。したがって

$$I={\int }_0^1\frac{dt}{1+t}={\left[\log (1+t)\right]}_0^1=\log 2$$

② (2) 相棒を作る。 次の2つを考える。

$$A={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{1+\sin x+\cos x}dx,B={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{1+\sin x+\cos x}dx$$

$x=\frac{\pi }{2}-u$ と置換すると $\sin x=\cos u$、$\cos x=\sin u$ で、分母 $1+\sin +\cos$ は変わらない。区間も自分自身に移る。したがって $A=B$ である。

③ 足すと分母が現れる。 分子を足すと $\sin x+\cos x$ になる。これは分母から $1$ を引いたものだ。

$$A+B={\int }_0^{\pi /2}\frac{\left(1+\sin x+\cos x\right)-1}{1+\sin x+\cos x}dx={\int }_0^{\pi /2}dx-{\int }_0^{\pi /2}\frac{dx}{1+\sin x+\cos x}=\frac{\pi }{2}-I$$

(1)より $I=\log 2$ だから $A+B=\frac{\pi }{2}-\log 2$。$A=B$ だったので

$$A=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}-\log 2\right)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\log 2$$

まとめ: 三角関数の有理式は $t=\tan \frac{x}{2}$ で有理関数に落ちる。そして「分子を足すと分母になる」形の積分は、相棒を作って足すのが定石である。まともに置換するより、はるかに軽い。

発展 — 一歩先へ。 $t=\tan \frac{x}{2}$ の置換は、$\sin x$ と $\cos x$ の有理式ならば必ず有理関数の積分に変えてしまう。原理的には、三角関数の有理式の積分はすべてこの一手で「解ける問題」になる(そのあと部分分数分解をすればよい)。

ただし万能であることと、楽であることは別だ。本問の(2)のように、対称性を先に使えば計算量は激減する。万能薬は最後の手段に取っておき、まず構造を探す — それが計算の上手さである。

別解

なぜ $t=\tan \frac{x}{2}$ が効くのか(半角で因数分解する)。 公式を当てるだけでは、この置換が魔法に見えてしまう。分母の構造を見れば、$\tan \frac{x}{2}$ が現れる必然が分かる。

半角の関係 $1+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}$、$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ を使うと

$$1+\sin x+\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}+2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)$$

分母が $\cos \frac{x}{2}$ でくくれた。そこで分母・分子を ${\cos }^2\frac{x}{2}$ で割ると

$$\frac{1}{1+\sin x+\cos x}=\frac{\frac{1}{{\cos }^2\frac{x}{2}}}{2\left(1+\tan \frac{x}{2}\right)}$$

分子に $\frac{1}{{\cos }^2\frac{x}{2}}$ が現れた。これは $\tan \frac{x}{2}$ の導関数の $2$ 倍である。実際 $u=\tan \frac{x}{2}$ とおけば

$$du=\frac{1}{2}\cdot \frac{dx}{{\cos }^2\frac{x}{2}}⟹\frac{dx}{{\cos }^2\frac{x}{2}}=2du$$

だから

$$I={\int }_0^1\frac{2du}{2(1+u)}={\int }_0^1\frac{du}{1+u}=\log 2$$

「$\tan \frac{x}{2}$ で置換せよ」という公式の正体は、この因数分解だったのである。分母が $\cos \frac{x}{2}$ でくくれる形になっているかどうか — 置換を選ぶ本当の理由は、公式の暗記ではなく、この構造の観察にある。