sin⁴x の定積分(半角の反復)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\sin }^{4}x$ をそのまま積分する道具はない。偶数乗の三角関数は、半角の公式で次数を下げるのが鉄則だ。

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ を使うと ${\sin }^{4}x={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2$。展開すると ${\cos }^{2}2x$ が出るので、もう一度半角で ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$。

こうして ${\sin }^{4}x$ が $\cos 2x,\cos 4x$ の1次式になれば、各項は素直に積分できる。

① 半角で次数下げ。 $${\sin }^{4}x={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}(1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x).$$ ${\cos }^{2}2x=\frac{1+\cos 4x}{2}$ を代入すると $${\sin }^{4}x=\frac{1}{4}\left(1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}-2\cos 2x+\frac{\cos 4x}{2}\right).$$ ② 積分。 ${\int }_0^{\pi /2}\cos 2xdx={\left[\frac{\sin 2x}{2}\right]}_0^{\pi /2}=0$、${\int }_0^{\pi /2}\cos 4xdx={\left[\frac{\sin 4x}{4}\right]}_0^{\pi /2}=0$。定数項だけ残り $${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}xdx=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{16}.$$

まとめ 半角を $2$ 回使い ${\sin }^{4}x=\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}-2\cos 2x+\frac{\cos 4x}{2}\right)$、$\cos$ の項は $0$ で $\frac{3\pi }{16}$。定積分(半角の反復)と三角の融合。

発展 — 一歩先へ。 ウォリスの公式で $n\to \infty$ を考えると、${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2m}xdx\sim \sqrt{\frac{\pi }{4m}}$。ここから $\frac{(2m)!}{4^m(m!{)}^2}\sim \frac{1}{\sqrt{\pi m}}$ が出て、円周率 $\pi$ が階乗の比の極限として現れる。三角関数のべきの積分は、$\pi$ を生む泉だ。

別解

別解 — ウォリスの公式で暗算する(得意な人向けの時短ルート)。 ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$ には、部分積分の漸化式をまとめた公式(ウォリスの公式)がある。$n$ が偶数 $2m$ のとき

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2m}xdx=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!}$$

($!!$ は1つおきの積。$4!!=4\cdot 2$、$3!!=3\cdot 1$)。$m=2$ を入れると

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{4}xdx=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}=\frac{\pi }{2}\cdot \frac{3}{8}=\frac{3\pi }{16}.$$

半角を2回使う(本解)手間なしで、分数の掛け算だけで答えが出る。${\sin }^6$ なら $\frac{\pi }{2}\cdot \frac{5\cdot 3\cdot 1}{6\cdot 4\cdot 2}=\frac{5\pi }{32}$ と、次数が上がっても同じ形。${\cos }^n$ でも区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ なら同じ値だ。