部分分数分解の積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母が積の分数は、そのままでは積分できない。そこで部分分数に分ける。

$\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ は $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$ に分解できる。

各項は $\frac{1}{x+a}$ の形で、$\log$ の積分になる。

分けてから積分し、区間を代入する、と見通す。分母の差が $1$ なので係数はそのまま $1$。

① 部分分数に分ける。

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$$

② 積分する。

$${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx=[\log (x+1)-\log (x+2){]}_0^1={\left[\log \frac{x+1}{x+2}\right]}_0^1$$

③ 代入する。

$$=\log \frac{2}{3}-\log \frac{1}{2}=\log \frac{2}{3}+\log 2=\log \frac{4}{3}$$

まとめ:分母が積の分数は「部分分数に分けて $\log$ の積分」。$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$ と分け、$\log \frac{x+1}{x+2}$ を代入。$\log \frac{2}{3}-\log \frac{1}{2}=\log (\frac{2}{3}\cdot 2)=\log \frac{4}{3}$ とまとめる。

発展 — 一歩先へ。 一般に $\int \frac{dx}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}\log \left|\frac{x+a}{x+b}\right|$。今回は $b-a=1$ だから係数が $1$ で、きれいにまとまった。

分母の差が $2$ や $3$ なら、その逆数が前に出る。部分分数は「有理関数の積分」の万能手で、分母を $1$ 次式の積に分けさえすれば、あとはすべて $\log$ に落ちる。

定積分 ${\int }_0^1$ が $\log \frac{4}{3}$ という簡単な値になるのは、両端で $\frac{x+1}{x+2}$ が $\frac{1}{2}$ と $\frac{2}{3}$ という有理数になるから。分数の積分が対数を生む、という基本形だ。

別解

別解 — 係数を「隠す」方法で部分分数を作る(得意な人向けの視点)。 $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$ の $A,B$ は、代入の一手で瞬時に出せる。

$A$ を出すには、両辺に $(x+1)$ を掛けて $x=-1$ を代入する。左辺は $\frac{1}{x+2}$ の $x=-1$、つまり $\frac{1}{-1+2}=1$。だから $A=1$。

$B$ も同様に、$(x+2)$ を掛けて $x=-2$ を代入。$\frac{1}{-2+1}=-1$ で $B=-1$。

よって $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$。あとは積分して

$${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx={\left[\log \frac{x+1}{x+2}\right]}_0^1=\log \frac{2}{3}-\log \frac{1}{2}=\log \frac{4}{3}.$$

分解を天下り的に使う本解と同じ。「消したい因数を掛けて、その根を代入する」この隠す方法(ヘヴィサイドの方法)なら、係数を連立せずに一発で決められる。