対称性を使う定積分(King Property)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母に $\sin x+\cos x$ があり、直接は積分しにくい。

ここで区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ の対称性、$x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換に注目する。この置換で $\sin x\leftrightarrow \cos x$ が入れかわる。

もとの積分 $I$ と、置換後の積分を足すと、分子が $\sin x+\cos x$ になって分母と約分され、$1$ の積分になる。

しかも置換しただけなので値は同じ($I=J$)。だから $2I$ から $I$ が求まる、と見通す。

① 置換して $J$ を作る。 $I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ とおく。$x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換で、$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$、$\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ だから

$$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx(=J)$$

(置換しただけなので値は同じ $I$。)

② $I+I$ を計算する。 もとの $I$(分子 $\sin x$)と、いまの $I$(分子 $\cos x$)を足すと、分子が $\sin x+\cos x$ になって分母と約分される。

$$2I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}$$

③ $I$ を求める。

$$I=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:分母が $\sin +\cos$ の積分は「$x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換で $\sin \leftrightarrow \cos$」。もとと置換後を足すと分子が分母と同じになり $\int 1=\frac{\pi }{2}$。値が同じ($I=J$)ことから $2I=\frac{\pi }{2}$、$I=\frac{\pi }{4}$。積分を計算せず対称性だけで求まる鮮やかな手法。

発展 — 一歩先へ。 この手の要は ${\int }_0^{a}f(x)dx={\int }_0^{a}f(a-x)dx$(積分の対称性)。被積分関数を「折り返した相方」と足すと、扱いやすい形にそろうことが多い。

じつはこの積分は、原始関数を直接求めることもできる。$\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\right)$ と書けて、第 $2$ 項は $\log (\sin x+\cos x)$ の微分だから、区間の両端で打ち消し合って $0$。残るのは $\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$。

対称性で一瞬で出す道と、原始関数を作る地道な道、どちらも同じ $\frac{\pi }{4}$ にたどり着く。うまい対称性は、計算の大半を省いてくれる。

別解

別解 — 分子を変形して直接積分する(得意な人向けの視点)。 対称性に頼らず、被積分関数を「定数 $+$ 対数の微分」に分けても求まる。

分子 $\sin x$ を、分母 $\sin x+\cos x$ とその微分 $\cos x-\sin x$ で表す。

$$\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}\right).$$

第 $2$ 項の分子 $\cos x-\sin x$ は、分母 $\sin x+\cos x$ の微分そのもの。だから $\frac{\cos x-\sin x}{\sin x+\cos x}=(\log (\sin x+\cos x){)}^{\prime }$。積分すると

$$I=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}1dx-\frac{1}{2}[\log (\sin x+\cos x){]}_0^{\pi /2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}(\log 1-\log 1)=\frac{\pi }{4}.$$

($x=\frac{\pi }{2},0$ でどちらも $\sin x+\cos x=1$ なので対数の差は $0$。)

対称性で $2I=\frac{\pi }{2}$ とする本解と同じ $\frac{\pi }{4}$。「分子を分母とその微分で書く」と、分数の積分は定数と対数に分かれる。この積分がちゃんと原始関数をもつことも、この道なら見える。