数学III / 積分法の計算

部分積分(循環型)

★★★ 応用部分積分

問題

不定積分 $\int e^{x} sin x d x$ を求めよ。

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部分積分を $2$ 回すると、なんと元の積分が右辺に戻ってくる。これを方程式とみて、求めたい積分について解く — 循環型の名物問題。

解答・解説

方針

部分積分を $2$ 回すると、もとの積分 $I = \int e^{x} sin x d x$ が右辺にまた現れる(循環)。 $I$ についての方程式とみて解く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\int e^{x} sin x d x$ を $I$ とおく。

部分積分を $2$ 回すると、元の積分 $I$ が右辺に再登場する。

そこで $I$ についての方程式とみて解く。「循環する部分積分は、方程式として解く」という、特殊だが強力な発想が核だ。

重要

e^{x} \times

(三角関数)は、部分積分

2

回で元の積分が再登場。方程式とみて解く

① $I$ とおいて $1$ 回目。 $I = \int e^{x} sin x d x$ 。 $f = sin x$ 、 $g^{'} = e^{x}$ 。

$I = e^{x} sin x - \int e^{x} cos x d x$

② $2$ 回目。 $\int e^{x} cos x d x$ をまた部分積分( $f = cos x$ 、 $g^{'} = e^{x}$ )。

$\int e^{x} cos x d x = e^{x} cos x - \int e^{x} (- sin x) d x = e^{x} cos x + I$

③ 代入して $I$ の方程式にする。

$I = e^{x} sin x - (e^{x} cos x + I) = e^{x} sin x - e^{x} cos x - I$

④ $I$ について解く。

$2 I = e^{x} (sin x - cos x) \Rightarrow I = \frac{1}{2} e^{x} (sin x - cos x) + C$

まとめ: $e^{x} sin x$ は「部分積分 $2$ 回で元に戻る」循環型。 $I$ の方程式 $2 I = \dots$ を解くのがカギ。 $sin$ と $cos$ が入れかわりながら $I$ が復活する。積分定数 $C$ は最後に付ける。

発展 — 一歩先へ。 一般に $\int e^{a x} sin (b x) d x = \frac{e ^{a x} ( a sin b x - b cos b x )}{a ^{2} + b ^{2}} + C$ 。分母に $a^{2} + b^{2}$ が現れるのが特徴で、いまの $a = b = 1$ では $2$ で割る形になる。

この結果は「積分すると振幅と位相がずれる」と読める。合成すると $sin x - cos x = 2 sin (x - \frac{π}{4})$ だから、答えは $\frac{e ^{x}}{2} sin (x - \frac{π}{4}) + C$ とも書ける。振幅が $\frac{1}{2}$ 倍になり、位相が $\frac{π}{4}$ だけ遅れている。

$e^{a x} sin b x$ 型の関数は、 $a < 0$ なら時間とともに衰える減衰振動、 $a > 0$ なら成長する振動を表す。本問は $a = 1$ の成長する側だが、積分公式は $a$ の符号によらず同じ形で、分母の $a^{2} + b^{2}$ と「振幅の縮小・位相のずれ」という構造も共通している。振動系の応答を調べる物理の計算で、この積分はそのまま顔を出す。

答

$\frac{1}{2} e^{x} (sin x - cos x) + C$

別解

別解 — $2$ つの微分を組み合わせて作る(得意な人向けの視点)。 部分積分を回さず、微分の計算だけで原始関数を組み立てられる。

$e^{x} sin x$ と $e^{x} cos x$ を、それぞれ前向きに微分する。

$\frac{d}{d x} (e^{x} sin x) = e^{x} (sin x + cos x), \frac{d}{d x} (e^{x} cos x) = e^{x} (cos x - sin x) .$

上の式から下の式を引くと、 $cos x$ の項が消えて $sin x$ だけが残る。

$\frac{d}{d x} (e^{x} sin x - e^{x} cos x) = e^{x} (sin x + cos x) - e^{x} (cos x - sin x) = 2 e^{x} sin x .$

両辺を $2$ で割ると $\frac{d}{d x} {\frac{1}{2} e^{x} (sin x - cos x)} = e^{x} sin x$ 。つまり原始関数は $\frac{1}{2} e^{x} (sin x - cos x) + C$ 。

$2$ 回部分積分して循環させる本解と同じ答え。積分を「逆向きに探す」かわりに、 $e^{x} sin x$ と $e^{x} cos x$ の微分という「行きの計算」を組み合わせて、原始関数を正面から作る。未知数を立てなくても、 $2$ つの微分の差だけで済むのが軽い。

ポイント

部分積分 $2$ 回で元の積分 $I$ が再登場。
$I$ の方程式 $2 I = \dots$ を解く。

よくある間違い

部分積分の途中で $sin \to cos \to - sin$ の符号を取り違え、循環がうまく閉じない。
右辺に現れた $I$ を移項して $2 I$ にまとめる操作を忘れ、 $I = \dots - I$ のまま止まる。
多項式×指数のように「いつか項が消える」と思い込み、循環に気づかず部分積分を延々とくり返す。