数学III / 積分法の計算

1/(1+e^x) の対称性で折りたたむ定積分

最難関編対称性置換積分偶関数・奇関数

問題

(1) すべての実数 $x$ に対して

$\frac{1}{1 + e ^{x}} + \frac{1}{1 + e ^{- x}} = 1$

が成り立つことを示せ。

(2) $f (x)$ を偶関数、 $a$ を正の定数とするとき

$\int_{- a}^{a} \frac{f ( x )}{1 + e ^{x}} d x = \int_{0}^{a} f (x) d x$

が成り立つことを示せ。

(3) $\int_{- 1}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + e ^{x}} d x$ を求めよ。

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原始関数は書けない。区間が原点対称であることが唯一の手がかりだ。

$\frac{1}{1 + e ^{x}}$ の「相棒」は何か。それと足すとどうなるか。

解答・解説

方針

$\frac{x ^{2}}{1 + e ^{x}}$ の原始関数は初等関数では書けない。使えるのは「区間が原点対称」という事実だけである。 $x \to - x$ の置換で得た式ともとの式を足すと、(1)により厄介な分母がそっくり消える。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{x ^{2}}{1 + e ^{x}}$ の原始関数は、初等関数では書けない。 $e^{x}$ が分母にいるせいだ。

しかし積分区間が $[- 1, 1]$ と原点対称である。ここに手がかりがある。

$x \to - x$ と折り返した積分を、もとの積分に足してみる。 $\frac{1}{1 + e ^{x}}$ と $\frac{1}{1 + e ^{- x}}$ の和が $1$ になるなら、厄介な分母がそっくり消えてしまう。

実際そうなる。 $y = \frac{1}{1 + e ^{x}}$ は点 $(0, \frac{1}{2})$ に関して対称なのだ。対称な2点の高さを足すとつねに $1$ — この一点が問題の心臓部である。

重要区間が原点対称なら、

x \to - x

の置換で得た式ともとの式を足す。

\frac{1}{1 + e ^{x}}

の相棒は

\frac{1}{1 + e ^{- x}}

で、和は

1

になる

① (1) 通分する。 分母・分子に $e^{x}$ を掛けると

$\frac{1}{1 + e ^{- x}} = \frac{e ^{x}}{e ^{x} ( 1 + e ^{- x} )} = \frac{e ^{x}}{e ^{x} + 1}$

よって

$\frac{1}{1 + e ^{x}} + \frac{1}{1 + e ^{- x}} = \frac{1}{1 + e ^{x}} + \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} = \frac{1 + e ^{x}}{1 + e ^{x}} = 1$

② (2) 折り返して足す。 $J = \int_{- a}^{a} \frac{f ( x )}{1 + e ^{x}} d x$ とおく。 $x = - u$ とおくと $d x = - d u$ で、 $x : - a \to a$ は $u : a \to - a$ 。向きが入れ替わって負号が吸収され

$J = \int_{- a}^{a} \frac{f ( - u )}{1 + e ^{- u}} d u = \int_{- a}^{a} \frac{f ( u )}{1 + e ^{- u}} d u$

最後の等号で $f$ が偶関数であること( $f (- u) = f (u)$ )を使った。もとの式とこの式を足すと、(1)より

$2 J = \int_{- a}^{a} f (x) (\frac{1}{1 + e ^{x}} + \frac{1}{1 + e ^{- x}}) d x = \int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$

最後は「偶関数の原点対称区間の積分は、半分の2倍」を使った。よって $J = \int_{0}^{a} f (x) d x$ 。

③ (3) 当てはめる。 $f (x) = x^{2}$ は偶関数だから、(2)がそのまま使える。

$\int_{- 1}^{1} \frac{x ^{2}}{1 + e ^{x}} d x = \int_{0}^{1} x^{2} d x = [\frac{x ^{3}}{3}]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$

y=1/(1+e^x) は点 (0, 1/2) に関して対称。x と -x での高さを足すとつねに 1(破線)になる。この『2つ足すと1』が、原点対称な区間の積分を半分に折りたたむ

まとめ: 原始関数が求まらなくても、対称性が分母を消してくれる。「 $\frac{1}{1 + e ^{x}}$ を見たら、 $x \to - x$ を足す」は難関大の頻出パターンである。分母がまるごと消えるという、劇的な単純化が起こる。

発展 — 一歩先へ。 (2)は「重み $\frac{1}{1 + e ^{x}}$ を掛けて原点対称区間で積分すると、右半分だけを重み $1$ で積分したのと同じ」と読める。重みが左右で $g (x)$ と $1 - g (x)$ に分かれ、合わせてちょうど $1$ 個ぶんになるからだ。

この関数は物理でフェルミ分布と呼ばれ、 $\frac{1}{1 + e ^{(E - μ) / k T}}$ の形で「電子がエネルギー $E$ の状態を占める確率」を表す。点 $(0, \frac{1}{2})$ に関する対称性は「境界のエネルギーではちょうど半々」という物理的な意味を持つ。数学の対称性が、そのまま自然界の対称性になっている例である。

答

(1) 通分すればよい (2) $x \to - x$ の置換で得た式ともとの式を足す (3) $\frac{1}{3}$

別解

被積分関数を「偶関数 $+$ 奇関数」に切り分ける(構造から見る)。 (1)の等式は、 $g (x) = \frac{1}{1 + e ^{x}}$ から $\frac{1}{2}$ を引いたものが奇関数であることを言っている。実際

$g (x) - \frac{1}{2} = \frac{2 - ( 1 + e ^{x} )}{2 ( 1 + e ^{x} )} = \frac{1 - e ^{x}}{2 ( 1 + e ^{x} )}$

で、 $x$ を $- x$ に変えて分母・分子に $e^{x}$ を掛ければ

$\frac{1 - e ^{- x}}{2 ( 1 + e ^{- x} )} = \frac{e ^{x} - 1}{2 ( e ^{x} + 1 )} = - (g (x) - \frac{1}{2})$

となり、確かに符号が反転する。したがって被積分関数は

$\frac{x ^{2}}{1 + e ^{x}} = x^{2} {\frac{1}{2} + (g (x) - \frac{1}{2})} = \frac{x ^{2}}{2} + x^{2} (g (x) - \frac{1}{2})$

と分解できる。第2項は(偶関数) $\times$ (奇関数) $=$ (奇関数)だから、原点対称な区間での積分は $0$ になる。残るのは第1項だけで

$\int_{- 1}^{1} \frac{x ^{2}}{2} d x = 2 \int_{0}^{1} \frac{x ^{2}}{2} d x = \frac{1}{3}$

本解が「2本の式を足して消す」道なら、こちらは「最初から消える部分を切り離す」道である。使っている事実は「奇関数の原点対称区間の積分は $0$ 」という、いちばん基本的なものだけだ。同じ対称性を、分解の言葉で述べ直したのである。

ポイント

$\frac{1}{1 + e ^{x}}$ と $\frac{1}{1 + e ^{- x}}$ の和は $1$ 。
原点対称な区間では $x \to - x$ の置換式を足す。
分母が消え、 $\int_{0}^{a} f$ だけが残る。

よくある間違い

原始関数を求めようとする。 $\frac{x ^{2}}{1 + e ^{x}}$ の原始関数は初等関数では書けない。「区間が原点対称」という条件こそが、与えられた唯一の道具である。
(2)の置換で $f (- u) = f (u)$ (偶関数)を使い忘れる。 $f$ が奇関数だと、同じ計算をしても恒等式が出るだけで値は決まらない。偶関数であることが本質的に効いている。
$\frac{1}{1 + e ^{x}}$ 自体が偶関数だと勘違いする。偶なのではなく、 $\frac{1}{2}$ を引いたものが奇関数、という構造である。グラフは点 $(0, \frac{1}{2})$ に関する点対称であって、 $y$ 軸対称ではない。