数学III / 積分法の計算

値が n によらない定積分(ディリクレ核)

最難関編積和の公式望遠鏡和定積分

問題

$n$ を自然数とし

$I_{n} = \int_{0}^{π /2} \frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x} d x$

とおく。

(1) $0 < x \leq \frac{π}{2}$ のとき

$\frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x} = 1 + 2 k = 1 \sum n cos 2 k x$

が成り立つことを示せ。

(2) $I_{n}$ を求めよ。

ヒントを見る

分母の $sin x$ を消したい。 $sin x$ と $cos 2 k x$ の積を、積和の公式で開くとどうなるか。

出てきた形を $k = 1$ から $n$ まで足すと、何が起きるか。

解答・解説

方針

分子・分母とも三角関数だから、積和の公式で「割り算」を「和」にほどく。 $2 sin x cos 2 k x$ が差の形になることに気づけば、望遠鏡和で中間項が消える。あとは $cos 2 k x$ を項別に積分すればよい。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母に $sin x$ 、分子に $sin (2 n + 1) x$ 。このままでは原始関数が見えない。 $n$ が一般なのだから、なおさらである。

だが分子も分母も同じ三角関数の仲間だ。積和の公式を使えば、「割り算」を「和」にほどける可能性がある。

実際、 $2 sin x cos 2 k x = sin (2 k + 1) x - sin (2 k - 1) x$ となる。右辺は差の形だ。 $k = 1, 2, \dots, n$ と足せば中間項がすべて打ち消し合い、両端だけが残る(望遠鏡和)。

こうして $sin (2 n + 1) x$ が $sin x$ と $cos 2 k x$ の和で書ける。 $cos 2 k x$ の和なら、項別に積分するだけだ。

公式積和の公式

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B)

① (1) 差の形を作る。 $A = x$ 、 $B = 2 k x$ として積和の公式を使う。 $sin (x - 2 k x) = sin (- (2 k - 1) x) = - sin (2 k - 1) x$ に注意すると

$2 sin x cos 2 k x = sin (2 k + 1) x - sin (2 k - 1) x$

② 足し上げる(望遠鏡和)。 $k = 1, 2, \dots, n$ で足すと、右辺は

${sin 3 x - sin x} + {sin 5 x - sin 3 x} + \dots + {sin (2 n + 1) x - sin (2 n - 1) x} = sin (2 n + 1) x - sin x$

と中間項が消える。よって

$2 sin x k = 1 \sum n cos 2 k x = sin (2 n + 1) x - sin x$

両辺に $sin x$ を足してから $sin x$ で割る( $0 < x \leq \frac{π}{2}$ では $sin x > 0$ だから割ってよい)。

$1 + 2 k = 1 \sum n cos 2 k x = \frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x}$

③ (2) 項別に積分する。 有限個の和だから、そのまま項ごとに積分してよい。

$\int_{0}^{π /2} 1 d x = \frac{π}{2}, \int_{0}^{π /2} cos 2 k x d x = [\frac{sin 2 k x}{2 k}]_{0}^{π /2} = \frac{sin k π}{2 k} = 0$

$k$ は整数だから $sin k π = 0$ である。したがって、 $cos$ の項はすべて消えて

$I_{n} = \frac{π}{2}$

$n$ がどんな値でも、答えは $\frac{π}{2}$ のまま動かない。

被積分関数。n=1(青、sin3x/sinx)と n=3(赤、sin7x/sinx)。n が大きいほど原点近くの山は高く鋭くなり、その先は激しく振動する。それでも 0 から π/2 までの面積はつねに π/2 で変わらない

まとめ: 三角関数の「割り算」は、積和の公式で「和」にほどく。差の形が出れば望遠鏡和で潰れる。 $cos$ の項は区間 $[0, \frac{π}{2}]$ 上でぴたりと $0$ になり、定数項 $1$ の寄与だけが生き残る。

発展 — 一歩先へ。 $n$ が大きいほど被積分関数は暴れる。 $x = 0$ の近くには高さ $2 n + 1$ の鋭い山ができ、その先は激しく振動する。それでも面積は $\frac{π}{2}$ のまま動かない。山が高くなるぶん幅が狭くなり、振動部分は正負が打ち消し合うからだ。

この関数はディリクレ核と呼ばれ、 $n \to \infty$ で「原点だけに無限の高さを持ち、面積は $\frac{π}{2}$ のまま」という奇妙なものに近づく。フーリエ級数がもとの関数に収束するかどうかを論じるときの主役であり、デルタ関数という現代的な道具の原型でもある。

答

(1) $2 sin x cos 2 k x = sin (2 k + 1) x - sin (2 k - 1) x$ を $k = 1, \dots, n$ で足すと中間項が消える (2) $I_{n} = \frac{π}{2}$ ( $n$ によらない)

別解

隣どうしの差をとる(得意な人向け)。 恒等式を作らなくても、 $I_{n}$ と $I_{n - 1}$ の差を見れば一撃で終わる。

$I_{n} - I_{n - 1} = \int_{0}^{π /2} \frac{sin ( 2 n + 1 ) x - sin ( 2 n - 1 ) x}{sin x} d x$

分子に和差の公式 $sin A - sin B = 2 cos \frac{A + B}{2} sin \frac{A - B}{2}$ を使う。 $A = (2 n + 1) x$ 、 $B = (2 n - 1) x$ とすると $\frac{A + B}{2} = 2 n x$ 、 $\frac{A - B}{2} = x$ だから

$sin (2 n + 1) x - sin (2 n - 1) x = 2 cos 2 n x sin x$

分母の $sin x$ がきれいに約分される。よって

$I_{n} - I_{n - 1} = \int_{0}^{π /2} 2 cos 2 n x d x = [\frac{sin 2 n x}{n}]_{0}^{π /2} = \frac{sin nπ}{n} = 0$

つまり $I_{n}$ は $n$ が1つ増えても変わらない。あとは出発点を見ればよい。同じ式で $n = 0$ とすると

$I_{0} = \int_{0}^{π /2} \frac{sin x}{sin x} d x = \frac{π}{2}$

よってすべての $n$ で $I_{n} = \frac{π}{2}$ 。

「一般項を求める」のではなく「変化量が $0$ であることを示す」。数列でも積分でも、この一手はきわめて強力である。値が $n$ によらないと分かっているときは、まず差をとってみるとよい。

ポイント

$2 sin x cos 2 k x = sin (2 k + 1) x - sin (2 k - 1) x$ (積和)。
$k$ について足すと望遠鏡和で中間項が消える。
$\int_{0}^{π /2} cos 2 k x d x = 0$ なので、残るのは定数項だけ。

よくある間違い

部分積分や置換で原始関数を求めようとする。 $\frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{sin x}$ の原始関数は初等的には書けない。積和で「和」にほどく以外に道はない。
恒等式を示すときに $sin x$ で割る操作を、 $sin x = 0$ となる点でも行う。 $0 < x \leq \frac{π}{2}$ に限れば $sin x > 0$ で割ってよい( $x = 0$ は端点で、被積分関数の値は $2 n + 1$ に近づく)。
$\int_{0}^{π /2} cos 2 k x d x = \frac{sin k π}{2 k}$ を出したところで止まり、 $sin k π = 0$ ( $k$ は整数)を使い忘れる。ここが $0$ になることが、この問題の結論そのものである。