数学III / 積分法の計算

部分積分(x cos x)

★★ 標準部分積分

問題

不定積分 $\int x cos x d x$ を求めよ。

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部分積分で。多項式の側を微分する側に選ぶと、残る積分が簡単になる。符号の管理を丁寧に。

解答・解説

$f = x$ 、 $g^{'} = cos x$ ( $g = sin x$ )で部分積分。 $x$ を微分で消し、残りの $\int sin x$ を計算する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x$ と $cos x$ の積 — 部分積分で「 $x$ を微分で消す」型だ。

$f = x$ 、 $g^{'} = cos x$ ( $g = sin x$ )として

$\int x cos x d x = x sin x - \int 1 \cdot sin x d x = x sin x + cos x + C$

残った $\int sin x d x = - cos x$ の符号が最後の関門。引き算の中のマイナスで、答えでは $+ cos x$ になる。微分して戻るか確かめれば確実だ。

重要部分積分

\int f g^{'} d x = f g - \int f^{'} g d x

① $f$ 、 $g^{'}$ を決める。 $f = x$ ( $f^{'} = 1$ )、 $g^{'} = cos x$ ( $g = sin x$ )。

② 公式にあてはめる。

$\int x cos x d x = x sin x - \int 1 \cdot sin x d x = x sin x - \int sin x d x$

③ 残りを積分する。 $\int sin x d x = - cos x$ 。

$= x sin x - (- cos x) + C = x sin x + cos x + C$

まとめ:「多項式 × 三角関数」も部分積分。 $x$ を $f$ にして微分で消す。残りの $\int sin x = - cos x$ の符号処理( $- (- cos x) = + cos x$ )に注意。

発展 — 一歩先へ。 $x sin x$ の積分も同じ並べ替えで出る( $(x cos x)^{'} = cos x - x sin x$ を移項)。答えは $- x cos x + sin x + C$ — ペアで導出しておくと、符号の混同がなくなる。

$x^{2} cos x$ では部分積分 $2$ 回、 $e^{x} cos x$ では $2$ 回やると元の積分が右辺に再登場して方程式として解く「循環型」になる — 部分積分の応用の $2$ 大パターンで、この単元の後半の山場だ。どちらも「積の微分の並べ替え」という原理は変わらない。

答

$x sin x + cos x + C$

部分積分の公式がなぜあの形なのか — 積の微分の並べ替えとして自力で導きながら解いてみる。

積の微分から出発する。

$(x sin x)^{'} = 1 \cdot sin x + x cos x$

求めたい $x cos x$ が右辺にいる。移項すると

$x cos x = (x sin x)^{'} - sin x$

両辺を積分すれば、 $(x sin x)^{'}$ の積分は $x sin x$ に戻るから

$\int x cos x d x = x sin x - \int sin x d x = x sin x + cos x + C$

部分積分の公式 $\int f g^{'} = f g - \int f^{'} g$ は、この「積の微分を書いて、いらない項を移項する」操作を一般化して名前をつけたものにすぎない。

公式の丸暗記で符号に不安が出たときは、この導出を $2$ 行書く方が確実で速い。「微分の公式はどれも、逆から読めば積分の公式」— 部分積分は積の微分の、置換積分は合成関数の微分の、それぞれ逆回しである。