半角を用いる三角関数の積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\sin }^{2}x$ をそのまま積分する公式はない。そこで半角の公式で次数を下げる。

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ にすれば、定数 $\frac{1}{2}$ と $\cos 2x$ の積分に分かれる。

どちらも積分できる形。$\cos 2x$ の積分は中身 $2x$ の微分 $2$ で割って $\frac{1}{2}\sin 2x$。

次数を下げて素直に積分する、と見通す。

① 次数を下げる。

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

② 積分する。

$${\int }_0^{\pi /2}\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{2}{\left[x-\frac{1}{2}\sin 2x\right]}_0^{\pi /2}$$

③ 代入する。 $\sin \pi =0$、$\sin 0=0$ だから

$$=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{1}{2}\sin \pi \right)-\frac{1}{2}(0-0)=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:${\sin }^{2}x$ の積分は「半角で次数を下げる」。$\frac{1-\cos 2x}{2}$ にすると $\cos 2x$ の積分($\frac{1}{2}\sin 2x$)に。$\sin \pi =0$ で $\cos 2x$ の項が消え、$\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$ が残る。${\cos }^{2}x$ なら $\frac{1+\cos 2x}{2}$。

発展 — 一歩先へ。 ${\sin }^{2}x$ の $1$ 周期にわたる平均は $\frac{1}{2}$。区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ の長さ $\frac{\pi }{2}$ にこの平均 $\frac{1}{2}$ を掛けると、ちょうど $\frac{\pi }{4}$。積分の値は「平均 $\times$ 幅」でもある。

半角で次数を下げる手は、${\sin }^{4}x$、${\sin }^{6}x$ など高次でも使える。${\sin }^{2n}x$ の $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 上の積分はウォリスの公式として知られ、$\pi$ が顔を出す。

「$2$ 乗は積分しにくいが、半角で $1$ 次に落とせば積分できる」——三角関数の偶数乗を積分する常道だ。

別解

別解 — 対称性で ${\sin }^2$ と ${\cos }^2$ をそろえる(得意な人向けの視点)。 半角の公式を使わず、区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ の対称性だけで求まる。

$x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換で $\sin x\leftrightarrow \cos x$ が入れかわるので

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{2}xdx.$$

この $2$ つを $I$ とおくと、足し合わせは

$$2I={\int }_0^{\pi /2}({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}.$$

${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が効いて、右辺が幅 $\frac{\pi }{2}$ の積分に。よって $I=\frac{\pi }{4}$。

半角で次数を下げる本解と同じ。${\sin }^2$ と ${\cos }^2$ が対称で、和が $1$ という関係を使うと、原始関数を計算せずに答えが出る。区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ ならではの鮮やかな手だ。