部分分数の積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母が $2$ つの因数の積 — このままでは積分の型に合わない。部分分数分解で「簡単な分数の差」にほどく。

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$$

(分母の差が $1$ だから係数は $1$。通分して戻ることを確認。)

分解後は各項が $\frac{1}{(\text{1次式})}$ 型で、それぞれ $\log |\text{1次式}|$ に積分できる。$\log$ どうしの差は商にまとめられる。数列の和で使った部分分数が、積分の世界でも同じ顔で働く。

① 部分分数に分ける。 分母の差が $1$ なので

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$$

② 各項を積分する。

$$\int (\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2})dx=\log |x+1|-\log |x+2|+C$$

③ $\log$ をまとめる。

$$=\log \left|\frac{x+1}{x+2}\right|+C$$

まとめ:分数関数の積分は「部分分数分解 → 各項を $\log$」。$\frac{1}{x+a}$ の積分は $\log |x+a|$。最後は $\log$ の差を $\log$ の商 $\log \left|\frac{x+1}{x+2}\right|$ にまとめると美しい。

発展 — 一歩先へ。 部分分数は「数列の和では途中を打ち消す道具、積分では型に落とす道具」— 同じ分解が $2$ つの単元で別の役を演じている。実際 $\sum \frac{1}{n(n+1)}$ と $\int \frac{dx}{x(x+1)}$ は、離散と連続の兄弟問題だ。

理論面では「どんな分数関数も、多項式 $+$ $\frac{\text{定数}}{(\text{1次式}{)}^k}$ 型 $+$ $\frac{\text{1次式}}{(\text{2次式}{)}^k}$ 型の和に分解できる」ことが知られており、したがって分数関数はすべて積分できる($\log$ と $\arctan$ で書ける)。部分分数分解は、その完全アルゴリズムの心臓部である。

別解

分解の係数を暗算で出す、片方を隠す速算(被覆法)を紹介する。

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$$

とおく。$A$ を知りたければ — 両辺に $(x+1)$ を掛けてから $x=-1$ を代入する、のと同じことを一瞬で:左辺の $(x+1)$ を指で隠して、残りに $x=-1$ を代入。

$$A=\frac{1}{x+2}{|}_{x=-1}=\frac{1}{1}=1$$

$B$ も同様に $(x+2)$ を隠して $x=-2$:

$$B=\frac{1}{x+1}{|}_{x=-2}=\frac{1}{-1}=-1$$

連立方程式なしで $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$ が出た。

因数が $3$ つ($\frac{1}{(x-1)x(x+1)}$ など)に増えるほど、この速算の威力は増す(通常の係数比較は連立が膨らむ)。「隠して代入」— 部分分数の実戦テクニックとして手に入れておきたい。