sin² の積分(半角)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\sin }^{2}x$ は $2$ 乗のままでは積分できない($\sin$ の原始関数の知識が直接使えない)。

三角関数の $2$ 乗は、半角(次数下げ)の公式で $1$ 次に落とすのが定跡だ。

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

$2$ 乗が消えて、定数と $\cos 2x$ の和になった。あとは項ごとに積分するだけ — $\cos 2x$ の積分で内側の $2$ で割ること($\frac{\sin 2x}{2}$)にだけ注意する。

① 半角の公式で次数を下げる。

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

② 積分する。 $\int \cos 2xdx=\frac{\sin 2x}{2}$。

$$\int {\sin }^{2}xdx=\int \frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{2}(x-\frac{\sin 2x}{2})+C=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$$

まとめ:${\sin }^{2}x$、${\cos }^{2}x$ は半角の公式で「$1$ 次(の $\cos 2x$)」に下げてから積分。$\int \cos 2x=\frac{\sin 2x}{2}$($\frac{1}{2}$ を忘れずに)。三角関数の $2$ 乗の積分の定番だ。

発展 — 一歩先へ。 答えの主要部 $\frac{x}{2}$ には意味がある。${\sin }^{2}x$ は $0$ と $1$ の間を波打つが、その平均の高さはちょうど $\frac{1}{2}$ — 積分(面積の累積)は平均high $\times$ 長さでほぼ $\frac{x}{2}$ と伸び、$\sin 2x$ の項は波打ちの端数を微調整しているだけだ。交流電力の実効値(${\sin }^2$ の平均が $\frac{1}{2}$ だから最大値の $\frac{1}{\sqrt{2}}$)は、まさにこの計算である。

$3$ 乗以上は道具が替わる。${\sin }^{3}x$ は奇数乗なので ${\sin }^2=1-{\cos }^2$ と置換($t=\cos x$)、${\sin }^{4}x$ は半角を $2$ 回 — 「偶数乗は次数下げ、奇数乗は置換」という交通整理を覚えておくとよい。

別解

半角公式を思い出せないとき、${\cos }^{2}x$ とペアで連立して出す道がある。

$2$ つの積分を $S=\int {\sin }^{2}xdx$、$T=\int {\cos }^{2}xdx$ とおく。使うのは基本の恒等式 $2$ 本だ。

和: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ を積分して

$$S+T=x+C_1$$

差: ${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=\cos 2x$(倍角公式)を積分して

$$T-S=\frac{\sin 2x}{2}+C_2$$

$2$ 本を連立して($引いて$2$で割る$)

$$S=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$$

半角公式ルートと同じ答えだ。おまけに $T=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$ も同時に手に入る。

半角公式は、実はこの連立の結果を $1$ 行にまとめたもの。「${\sin }^2$ と ${\cos }^2$ は和が簡単・差も簡単 — だから個々も出せる」という対称式の発想は、三角関数の計算全般で使い回せる。