部分積分による漸化式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$ を1つずつ計算する代わりに、隣どうしをつなぐ漸化式を作る。

部分積分で、$x^n$ を微分($n{x}^{n-1}$)、$e^x$ を積分($e^x$)する。すると次数が1つ下がり、$I_n$ が $I_{n-1}$ で書ける。

$I_n=[x^n{e}^x{]}_0^1-n{I}_{n-1}=e-n{I}_{n-1}$。$I_0=e-1$ から順に上がれば $I_2$ が出る。

① 漸化式。 部分積分で $$I_n=[x^n{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^{1}n{x}^{n-1}{e}^{x}dx=(1^n{e}^1-0)-n{I}_{n-1}=e-n{I}_{n-1}.$$ ② 初項。 $I_0={\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e-1$。

③ 順に計算。 $$I_1=e-1\cdot I_0=e-(e-1)=1,I_2=e-2I_1=e-2.$$

まとめ 部分積分で漸化式 $I_n=e-n{I}_{n-1}$、$I_0=e-1$ から $I_1=1,I_2=e-2$。積分(部分積分)と漸化式の融合。

発展 — 一歩先へ。 漸化式を展開すると $I_n=n!\left(e\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}-(-1{)}^n\right)$。$\sum \frac{(-1{)}^k}{k!}\to e^{-1}$ なので、$e$ と $e^{-1}$ の部分和の“ずれ”が $I_n$ に現れる。積分の漸化式が、$e$ の級数展開の内部構造を映し出している。

別解

別解 — 漸化式を展開して閉じた式にする(得意な人向けの視点)。 漸化式 $I_n=e-n{I}_{n-1}$ を、$I_0=e-1$ から繰り返し展開してみる。

$$I_1=e-1\cdot (e-1)=1,I_2=e-2\cdot 1=e-2,I_3=e-3(e-2)=6-2e,\dots$$

パターンを追うと、$I_n=n!\left(e\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}-(-1{)}^n\right)$ の形にまとまる(交代和が $e^{-1}$ の部分和に対応)。

とくに $n\to \infty$ では $\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}\to e^{-1}$ だが、$I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$ 自体は $x^n\to 0$($0\le x<1$)から $0$ に近づく。つまり $e\times (e^{-1}$ の部分和$)$ と $n!$ の増大が絶妙に釣り合う。

$I_2=e-2$ を出すだけなら漸化式を2回回せば十分(本解)。だが展開して閉じた式を見ると、この積分が $e$ の交代級数と深くつながっていることが見えてくる。