数学III / 積分法の計算

三角置換による定積分(x²√(1−x²))

実戦編積分法の計算置換積分三角置換半角単元横断

問題

定積分 $\int_{0}^{1} x^{2} 1 - x^{2} d x$ を求めよ。

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$x = sin θ$ 、 $1 - x^{2} = cos θ$ 、 $d x = cos θ d θ$ 。 $sin^{2} θ cos^{2} θ = \frac{1}{4} sin^{2} 2 θ$ 、さらに半角。

解答・解説

方針

$1 - x^{2}$ を含むので $x = sin θ$ で置換する。 $sin^{2} θ cos^{2} θ$ を $2$ 倍角・半角で $1$ 次式に直して積分する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1 - x^{2}$ を含む積分は、 $x = sin θ$ の三角置換が定石。根号が外れる。

$x = sin θ$ ( $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ )とすると $1 - x^{2} = cos θ$ 、 $d x = cos θ d θ$ 。被積分関数は $sin^{2} θ cos^{2} θ$ になる。

これは偶数乗の三角関数だから、 $2$ 倍角・半角で1次式に直して積分する。

重要

x = sin θ

で

1 - x^{2} = cos θ

。

sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ

① 三角置換。 $x = sin θ$ ( $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ )、 $d x = cos θ d θ$ 、 $1 - x^{2} = cos θ$ 。 $x : 0 \to 1$ で $θ : 0 \to \frac{π}{2}$ 。 $\int_{0}^{1} x^{2} 1 - x^{2} d x = \int_{0}^{π /2} sin^{2} θ \cdot cos θ \cdot cos θ d θ = \int_{0}^{π /2} sin^{2} θ cos^{2} θ d θ .$ ② 次数下げ。 $sin θ cos θ = \frac{1}{2} sin 2 θ$ より $sin^{2} θ cos^{2} θ = \frac{1}{4} sin^{2} 2 θ = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - cos 4 θ}{2}$ 。 $= \frac{1}{8} \int_{0}^{π /2} (1 - cos 4 θ) d θ .$ ③ 積分。 $\int_{0}^{π /2} cos 4 θ d θ = [\frac{sin 4 θ}{4}]_{0}^{π /2} = 0$ より $\frac{1}{8} \int_{0}^{π /2} 1 d θ = \frac{1}{8} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{16} .$

まとめ $x = sin θ$ で $\int_{0}^{π /2} sin^{2} θ cos^{2} θ d θ$ 、半角で $\frac{1}{8} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{16}$ 。置換積分(三角置換)と半角の融合。

発展 — 一歩先へ。 $\int_{0}^{1} x^{a} (1 - x^{2})^{b} d x$ 型はベータ関数で書け、 $\int_{0}^{1} x^{2} 1 - x^{2} d x = \frac{1}{4} B (\frac{3}{2}, \frac{3}{2}) = \frac{π}{16}$ 。三角置換で出る $sin^{2} θ cos^{2} θ$ の積分は、このベータ関数(階乗の連続版=ガンマ関数の比)の特別な場合である。

答

$x = sin θ$ ( $0 \leq θ \leq \frac{π}{2}$ )で置換すると $d x = cos θ d θ$ 、 $1 - x^{2} = cos θ$ 。 $\int_{0}^{π /2} sin^{2} θ cos^{2} θ d θ = \frac{1}{4} \int_{0}^{π /2} sin^{2} 2 θ d θ = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{16}$ 。

別解

別解 — 面積の一部として幾何的に見る(得意な人向けの視点)。 $\int_{0}^{1} x^{2} 1 - x^{2} d x$ の値 $\frac{π}{16}$ は、単位円 $(x = sin θ)$ 上の量として読める。

三角置換後 $\int_{0}^{π /2} sin^{2} θ cos^{2} θ d θ$ で、 $sin^{2} θ cos^{2} θ = \frac{1}{4} sin^{2} 2 θ = \frac{1}{8} (1 - cos 4 θ)$ 。だから

$\int_{0}^{π /2} \frac{1}{8} (1 - cos 4 θ) d θ = \frac{1}{8} (\frac{π}{2} - 0) = \frac{π}{16} .$

$cos 4 θ$ の積分が区間 $[0, \frac{π}{2}]$ ( $4 θ$ が $0$ から $2 π$ 、ちょうど1周期)で $0$ になるのがポイント。周期関数を1周期積分すると平均だけが残る、という仕組みだ。

$2$ 倍角 $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ を使って積をまとめると、次数が下がって「定数 $-$ 周期関数」の形になり、周期部分が消える — 三角関数の積の積分の定番の流れである。

ポイント

$1 - x^{2}$ は $x = sin θ$ で根号が外れる。
$sin^{2} θ cos^{2} θ = \frac{1}{4} sin^{2} 2 θ$ 、半角。
$\frac{1}{8} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{16}$ 。

よくある間違い

置換後の $d x = cos θ d θ$ を忘れ、 $cos θ$ が1つ足りない。
$sin^{2} θ cos^{2} θ$ を $2$ 倍角 $\frac{1}{4} sin^{2} 2 θ$ に直さず、そのまま積分しようとする。
積分区間の対応( $x : 0 \to 1$ が $θ : 0 \to \frac{π}{2}$ )を書き換え忘れる。