定積分(部分積分)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x{e}^x$ の定積分 — 原始関数はもう知っている($(x-1)e^x$、部分積分の基本問題)。定積分ではそれに上端・下端を代入するだけだ。

$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=[(x-1)e^x{]}_0^1=0\cdot e-(-1)\cdot 1=1$$

もうひとつの流儀は、定積分のまま部分積分する形 $[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$。どちらでも同じ $1$ に着く — 好みで選んでよいが、両方書けると検算になる。

① 原始関数を求める。 部分積分で $\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x$(部分積分で求めた結果)。

② 代入して引く。

$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=[(x-1)e^x{]}_0^1=(1-1)e^1-(0-1)e^0=0-(-1)=1$$

まとめ:定積分の部分積分は「原始関数を出してから代入」でよい。$(x-1)e^x$ に $x=1,0$ を入れる。$x=1$ で $0$、$x=0$ で $-1$、引くと $0-(-1)=1$。符号の処理を丁寧に。

発展 — 一歩先へ。 答えがちょうど $1$ という整数になったのは偶然ではない趣がある。${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=e-(e-1)$ — 「$e$ の世界の計算なのに、$e$ が消える」。${\int }_1^e\log xdx=1$ もそうで、実はこの $2$ つの積分は逆関数の関係で同じ図形を別の軸から見た兄弟である(対数の定積分の問題で種明かしする)。

パラメータ微分をもう $1$ 回やれば ${\int }_0^1{x}^2{e}^{x}dx$、もう $1$ 回で $x^3$ — 部分積分の繰り返しが「微分の繰り返し」に翻訳される。計算の手段が変わると、繰り返しの構造まで見え方が変わる好例だ。

別解

部分積分を使わない、少し高い視点の飛び道具 — パラメータで微分する方法を覗いてみよう。

まず簡単な積分を、文字 $t$ 入りで計算しておく。

$$g(t)={\int }_0^1{e}^{tx}dx={\left[\frac{e^{tx}}{t}\right]}_0^1=\frac{e^t-1}{t}$$

この両辺を $t$ で微分する。左辺は(積分の中身を $t$ で微分して)${\int }_0^{1}x{e}^{tx}dx$ — 欲しい形に $x$ が降りてきた!右辺は商の微分で計算できる。$t=1$ を代入すると

$${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=\frac{t{e}^t-e^t+1}{t^2}{|}_{t=1}=e-e+1=1$$

部分積分と同じ答えだ。

「積分の中に $x$ を $1$ つ増やしたければ、パラメータで $1$ 回微分する」— 物理学者ファインマンが愛用したことで有名な技で、大学以降の積分計算の常套手段。高校範囲では部分積分が正道だが、$1$ つの積分の背後に「$t$ でつながった積分の家族」がいる、という眺めは知っておく価値がある。