分子を分けて積分(対数とarctan)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{2x+3}{x^2+1}$ の分子を、2つの「積分できる形」に分けたい。

分母 $x^2+1$ の微分は $2x$。だから分子の $2x$ の部分は $\frac{2x}{x^2+1}$ で、これは $\log (x^2+1)$ に積分できる(分母の微分 $÷$ 分母の形)。

残った定数部分 $\frac{3}{x^2+1}$ は、$\arctan$ の微分の形。$3\arctan x$ に積分できる。「分母の微分に比例する部分」と「定数部分」に切り分けるのがコツだ。

① 分子を分ける。 $$\frac{2x+3}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{3}{x^2+1}.$$ ② それぞれ積分。 $\frac{2x}{x^2+1}=\frac{(x^2+1{)}^{\prime }}{x^2+1}$ より $\log (x^2+1)$。$\frac{3}{x^2+1}$ は $3\arctan x$。 $${\int }_0^1\frac{2x+3}{x^2+1}dx=[\log (x^2+1)+3\arctan x{]}_0^1.$$ ③ 代入。 $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$、$\arctan 0=0$、$\log 1=0$ より $$=(\log 2+3\cdot \frac{\pi }{4})-(\log 1+0)=\log 2+\frac{3\pi }{4}.$$

まとめ 分子を $2x$(→$\log$)と $3$(→$\arctan$)に分け、$\log 2+\frac{3\pi }{4}$。定積分(分子の分解)と対数・逆正接の融合。

発展 — 一歩先へ。 有理関数 $\frac{(\text{多項式})}{(\text{多項式})}$ の積分は、いつでも「対数 $+$ $\arctan$ $+$ 有理関数」の組合せで書ける(部分分数分解の一般論)。分母が実数の範囲で $(x-a)$ と $(x^2+px+q)$($判別式<0$)に割れ、前者から $\log$、後者から $\arctan$ が生まれる。本問はその最小の例だ。

別解

別解 — 全体を「分母の微分」で寄せて確認する(苦手な人向けの検算)。 分子 $2x+3$ を、分母 $x^2+1$ の微分 $2x$ の定数倍と、残りに分ける。

$$\frac{2x+3}{x^2+1}=\underset{\to \log (x^2+1)}{\underbrace{\frac{2x}{x^2+1}}}+\underset{\to 3\arctan x}{\underbrace{\frac{3}{x^2+1}}}.$$

第1項は「分母の微分 $÷$ 分母」だから、原始関数は $\log (x^2+1)$。第2項は $\frac{1}{x^2+1}$ の $3$ 倍で $3\arctan x$。よって

$${\int }_0^1=[\log (x^2+1)+3\arctan x{]}_0^1=(\log 2+3\cdot \frac{\pi }{4})-(0+0)=\log 2+\frac{3\pi }{4}.$$

$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$ 型は必ず $\log |f(x)|$、$\frac{1}{x^2+1}$ 型は必ず $\arctan x$。この2つの「形」を覚えておくと、分子をどう分ければよいかが逆算できる。数値でも $\log 2+\frac{3\pi }{4}\approx 0.693+2.356=3.049$ と検算できる。