不定積分(sin)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「微分すると $\sin x$ になる関数」を探す。

微分の公式を、思い出そう。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$ $$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

$2$ 番目の式に注目する。 $\cos x$ を微分すると、$-\sin x$。

欲しいのは $+\sin x$ だから、符号を逆にすればいい。

$$(-\cos x{)}^{\prime }=-(-\sin x)=\sin x✓$$

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$

マイナスがつく理由が、これだ。

微分でマイナスが出るなら、積分では逆にマイナスをつけて打ち消す。

符号を間違えないコツ。

答えを微分して、$\sin x$ に戻るか確かめる。 $3$ 秒でできる検算だ。

「積分は微分の逆。符号もたどり直す。」 これを毎回、口の中で唱えたい。

$(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$ なので、逆に

$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$

まとめ:$\sin x$ の積分は $-\cos x$(マイナスがつく)。微分では $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$、$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ だった。積分はその逆なので符号に注意。$\sin \to -\cos$、$\cos \to \sin$ と覚える。

発展 — 一歩先へ。 $\sin$ を $4$ 回微分すると元に戻る。この「$4$ 周期の循環」は、$e^x$ と対比すると面白い。

$$e^x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }{e}^x(1\text{ 周期 — 変わらない})$$

$$\sin x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }\cos x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }-\sin x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }-\cos x\stackrel{{}^{\prime }}{\to }\sin x(4\text{ 周期})$$

なぜ、$e^x$ は $1$ 周期で、三角関数は $4$ 周期なのか。

オイラーの公式が、その謎を解く。

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

この式を微分すると

$${\left(e^{ix}\right)}^{\prime }=i{e}^{ix}$$

「微分する」ことが、「$i$ を掛ける」ことと同じになった。

そして、$i$ を $4$ 回掛けると?

$$i\to i^2=-1\to i^3=-i\to i^4=1$$

$4$ 回で元に戻る。

三角関数の $4$ 周期は、虚数単位 $i$ の $4$ 周期だったのだ。

複素数平面で言えば、$i$ を掛けることは $90^{\circ }$ の回転。 $4$ 回回せば $360^{\circ }$ で $1$ 周。

「微分すると、位相が $\frac{\pi }{2}$($=90^{\circ }$)進む」という事実と、ぴったり対応している。

この視点は、積分にも使える。

$$\int e^{ix}dx=\frac{1}{i}{e}^{ix}+C=-i{e}^{ix}+C$$

($\frac{1}{i}=-i$ を使った。)

実部と虚部に分けると

$$-i(\cos x+i\sin x)=-i\cos x+\sin x$$

一方、左辺は

$$\int (\cos x+i\sin x)dx=\sin x+i(-\cos x)=\sin x-i\cos x$$

両者が一致する ✓

実部を比べると $\int \cos xdx=\sin x$、虚部を比べると $\int \sin xdx=-\cos x$。

$2$ つの積分公式が、$1$ つの複素数の計算から同時に出てきた。

複素数を使うと、三角関数の計算は指数関数の計算に化ける。

そして、指数関数の計算は圧倒的に簡単だ(微分も積分も、係数を掛けたり割ったりするだけ)。

これが、物理学や工学で複素数を多用する理由である。

交流回路の解析、量子力学、信号処理 — すべて、三角関数を $e^{ix}$ に置き換えて計算し、最後に実部をとる。

$\int \sin xdx=-\cos x$ という素朴な公式の裏に、複素数という強力な武器が控えている。

別解

符号を絶対に間違えない「循環の輪」を作る。

$\sin$ と $\cos$ の微分は、$4$ つで一巡する。

$$\sin x\stackrel{\text{微分}}{\to }\cos x\stackrel{\text{微分}}{\to }-\sin x\stackrel{\text{微分}}{\to }-\cos x\stackrel{\text{微分}}{\to }\sin x$$

$4$ 回微分すると、元に戻る。

確かめよう。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x✓$$ $$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x✓$$ $$(-\sin x{)}^{\prime }=-\cos x✓$$ $$(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x✓$$

この輪を、頭の中に描いておく。

そして、積分は「輪を逆回り」することだ。

$$\sin x\stackrel{\text{積分}}{\leftarrow }-\cos x$$

$\sin x$ の $1$ つ手前(反時計回り)にいるのは、$-\cos x$。

$$\int \sin xdx=-\cos x+C✓$$

同じ輪で、他の積分も読める。

$$\int \cos xdx=\sin x+C(\cos \text{ の 1 つ手前は }\sin )$$

$$\int (-\sin x)dx=\cos x+C$$

$$\int (-\cos x)dx=-\sin x+C$$

$4$ つの積分公式が、$1$ つの輪から全部出てくる。

符号で迷ったら、輪を書けばいい。

なぜ、こんな循環が起こるのか。

$\sin$ と $\cos$ は、$\frac{\pi }{2}$ だけずれた同じ波だからだ。

$$\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$$

微分すると、位相が $\frac{\pi }{2}$ 進む。

$$\text{微分}=\text{波を }\frac{\pi }{2}\text{ ずらす}$$

$4$ 回ずらせば $2\pi$ — $1$ 周して元に戻る。

積分は、逆向きに $\frac{\pi }{2}$ ずらすこと。

$$\int \sin xdx=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)+C=-\cos x+C$$

($\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=-\cos x$ を使った。)

確かに、一致する ✓

「微分 $=$ 位相を進める、積分 $=$ 位相を戻す」

電気回路で、コンデンサやコイルが電流の位相をずらすのは、まさにこの数学が働いているからだ。

丸暗記ではなく、$1$ つの輪として覚える。 そうすれば、$4$ つの公式を忘れることはない。