置換積分(分数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母 $x^2+1$ の微分は $2x$ — 分子の $x$ と定数倍しか違わない。「分母の微分が分子にいる」形だ。

$t=x^2+1$ とおくと $dt=2xdx$、分子の $xdx$ は $\frac{1}{2}dt$。

$$\int \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}\log |t|+C=\frac{1}{2}\log (x^2+1)+C$$

($x^2+1>0$ なので絶対値は外せる。)この形は $\log (\text{分母})$ に落ちる — 分数の積分の最重要パターンである。

① 置きかえる。 $t=x^2+1$ とおくと $dt=2xdx$、すなわち $xdx=\frac{1}{2}dt$。

② $t$ の積分にする。

$$\int \frac{x}{x^2+1}dx=\int \frac{1}{t}\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}\log |t|+C$$

③ $x$ に戻す。 $x^2+1>0$ なので絶対値は外せる。

$$=\frac{1}{2}\log (x^2+1)+C$$

まとめ:「分母の微分が分子(の定数倍)にある」形は $\log$(分母)になる。ここは分母 $x^2+1$ の微分 $2x$ が、分子 $x$ の $2$ 倍。$\frac{1}{2}$ を出して $\frac{1}{2}\log (x^2+1)$。$\frac{g^{\prime }}{g}\to \log |g|$ の形を覚えておくと速い。

発展 — 一歩先へ。 分子が $x$ でなく $x+1$ だったら? — 分解して $\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{x^2+1}$。前半は今回の $\log$ 型、後半は $\tan$ 置換の型($\arctan$)。分数の積分は「分母の微分の部分」と「定数の部分」に分子を割るのが一般戦略で、この問題はその前半部品にあたる。

$\frac{f^{\prime }}{f}$ は微分の側では「変化率(対数微分)」だった。積分の側では「変化率を足し合わせると $\log$(累積の倍率)が戻る」— 複利の計算で利率を積み上げると元利合計の対数になる、という金融の計算と同じ構造である。

別解

置換の手続きを省いた速記を持っておくと、この型は数秒で書ける。

覚えるのは $1$ 行 —

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\log |f(x)|+C$$

(微分の $(\log |f|{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$ の逆読みだ。)

問題の式で $f=x^2+1$ とすると $f^{\prime }=2x$。分子は $x$ で、$f^{\prime }$ の半分しかない。足りない定数は外で調整して

$$\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\log (x^2+1)+C$$

視線の動きは「分母を微分 → 分子と見比べ → 定数倍を合わせる」の $3$ ステップだけ。$\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=-\log |\cos x|+C$(分子が分母の微分の $-1$ 倍)も同じ速記で落ちる。分数の積分ではまず「分母の微分」を疑う — この反射を作るのが標準問題の目的だ。