置換積分(三角関数のべき)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 被積分関数は $\sin x{\cos }^{3}x$。$\cos$ のべきの隣に $\sin$ が $1$ つある。

$t=\cos x$ とおくと $dt=-\sin xdx$。残りの $\sin xdx$ がちょうど $-dt$ に化ける。

「$\cos$ のべき×$\sin$ は $t=\cos x$ で置換」という定跡だ。

① 置換する。 $t=\cos x$ とおくと $dt=-\sin xdx$。区間は $x=0\to t=1$、$x=\frac{\pi }{2}\to t=0$。

② $t$ の積分にする。 ${\cos }^{3}x=t^3$、$\sin xdx=-dt$。

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x{\cos }^{3}xdx={\int }_1^0{t}^3(-dt)={\int }_0^1{t}^{3}dt$$

③ 計算する。

$$=[\frac{t^4}{4}{]}_0^1=\frac{1}{4}$$

まとめ:$\sin x{\cos }^{3}x$ は「$\cos$ を $t$、$\sin xdx=-dt$」で置換。$\int t^{3}dt$ という多項式の積分に化ける。$\sin$ の $1$ 乗がちょうど置換の $dt$ に吸収されるのがミソだ。

発展 — 一歩先へ。 ${\int }_0^{\pi /2}\sin x{\cos }^{n}xdx$ を一般の $n$ で計算すると、$t=\cos x$ の置換で ${\int }_0^1{t}^{n}dt=\frac{1}{n+1}$ になる。$n=3$ なら $\frac{1}{4}$ で、いまの答えだ。

$\sin$ と $\cos$ を入れかえた ${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}x\cos xdx$ も、同じく $\frac{1}{n+1}$。片方が「もう片方のべきの微分の相方」になっているので、置換一発で単純な分数に落ちる。

答えが $\frac{1}{n+1}$ という簡単な形になるのは、区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ で $\cos x$ が $1$ から $0$ まで動くから。指数が $1$ つ違うと値も規則的にずれる、きれいな数列だ。

別解

別解 — 積を三角関数の和に開いて積分する(得意な人向けの視点)。 置換のかわりに、被積分関数を $\sin 2x$、$\sin 4x$ の和に開いてから積分できる。

$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$、${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ を使うと

$$\sin x{\cos }^{3}x=(\sin x\cos x){\cos }^{2}x=\frac{1}{2}\sin 2x\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{4}\sin 2x\cos 2x.$$

さらに $\sin 2x\cos 2x=\frac{1}{2}\sin 4x$ だから

$$\sin x{\cos }^{3}x=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{8}\sin 4x.$$

どちらも $1$ 次の三角関数なので、そのまま積分して

$${\int }_0^{\pi /2}\left(\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{8}\sin 4x\right)dx=\frac{1}{4}{\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]}_0^{\pi /2}+\frac{1}{8}{\left[-\frac{1}{4}\cos 4x\right]}_0^{\pi /2}=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}.$$

$t=\cos x$ で置換する本解と同じ答え。積を「波の重ね合わせ」に開くと、置換を使わずに済む。第 $2$ 項 $\sin 4x$ は区間の両端で消え、第 $1$ 項だけが $\frac{1}{4}$ を生む。