絶対値を含む定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値つきの定積分は、中身の符号で区間を分けるのが鉄則。

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ の符号を調べる。$-1\le x\le 1$ で負、$1\le x\le 2$ で正。

負の区間では、絶対値を外すとき符号を反転する($|x^2-1|=1-x^2$)。

区間 $[-1,1]$ と $[1,2]$ に分けて、それぞれ積分して足す、と段取りする。

① 符号を調べる。 $x^2-1$ は $-1\le x\le 1$ で $\le 0$、$1\le x\le 2$ で $\ge 0$。

$$|x^2-1|=\{\begin{array}{ll}1-x^2& (-1\le x\le 1)\\ x^2-1& (1\le x\le 2)\end{array}$$

② 区間ごとに積分する。

$${\int }_{-1}^1(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$$ $${\int }_1^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_1^2=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right)=\frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}$$

③ 足す。

$${\int }_{-1}^2|x^2-1|dx=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$$

まとめ:絶対値の定積分は「符号で区間分け → 各区間で外して積分 → 足す」。$[-1,1]$ では $1-x^2$(反転)、$[1,2]$ では $x^2-1$。境目 $x=1$ で分けて、それぞれ $\frac{4}{3}$、合わせて $\frac{8}{3}$。

発展 — 一歩先へ。 ${\int }_{-1}^2|x^2-1|dx$ は、曲線 $y=|x^2-1|$ と $x$ 軸で囲む「面積」。絶対値がつくと、放物線 $x^2-1$ の $x$ 軸より下の部分が、上に折り返される。

面積はつねに正だから、絶対値の積分は「符号を無視した総量」を測る。もし絶対値を外し忘れて ${\int }_{-1}^2(x^2-1)dx$ を計算すると、正の部分と負の部分が打ち消し合って $0$ になり、面積とはまるで別物になる。

「符号付きの積分」と「絶対値(面積)の積分」は違う、という区別が要。速さと道のり(道のりは速度の絶対値の積分)も、まさにこの違いだ。

別解

別解 — 符号付き積分から折り返しぶんを足す(得意な人向けの視点)。 区間を分けずに、まず符号付きで積分し、負だった部分を「折り返す」補正を加える手もある。

絶対値なしだと、${\int }_{-1}^2(x^2-1)dx={\left[\frac{x^3}{3}-x\right]}_{-1}^2=\left(\frac{8}{3}-2\right)-\left(-\frac{1}{3}+1\right)=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0$。

この $0$ は、負の部分 $[-1,1]$ と正の部分 $[1,2]$ がちょうど打ち消し合った結果。負の部分の値は ${\int }_{-1}^1(x^2-1)dx=-\frac{4}{3}$。

絶対値をつけると、この負の部分の符号が反転する。だからもとの積分値 $0$ に、負だった $-\frac{4}{3}$ を「反転で $+\frac{4}{3}$ に変える」ぶん、$2\times \frac{4}{3}=\frac{8}{3}$ を足す。

$${\int }_{-1}^2|x^2-1|dx=0-2\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{8}{3}.$$

区間ごとに積分して足す本解と同じ。「符号付き積分 $-$ $2\times$(負の部分)」という見方は、負の領域が少ないときに手早い。区間 $[-1,1]$ の $1-x^2$ が偶関数で $2{\int }_0^1(1-x^2)dx=\frac{4}{3}$ となるのも、計算を軽くする。