不定積分(1/cos²)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ を見て、「これは何の微分だったか?」と考える。

微分公式を、思い出そう。

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

ぴったり一致する。

$$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$$

微分公式を逆に読むだけで、積分公式になる。

これが積分の学び方の基本だ。

微分公式の一覧表を、右から左に読む。

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x⟹\int \cos xdx=\sin x+C$$ $$(e^x{)}^{\prime }=e^x⟹\int e^{x}dx=e^x+C$$ $$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}⟹\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\tan x+C$$

新しく覚えることは、$1$ つもない。

「積分の公式」は、「微分の公式」の裏返しにすぎない。 そう思えば、暗記の負担は半分になる。

$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ なので、逆に

$$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$$

まとめ:$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ の積分は $\tan x$。微分公式 $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ の逆。三角関数の微分公式を覚えていれば、その逆が積分公式になる。

発展 — 一歩先へ。 ここまでで、基本の積分公式が出そろった。全体を、$1$ 枚の地図にまとめよう。

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1)$$ $$\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$$ $$\int e^{x}dx=e^x+C$$ $$\int \sin xdx=-\cos x+C,\int \cos xdx=\sin x+C$$ $$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x+C$$

$6$ つ。すべて、微分公式の裏返しだ。

そして、この $6$ つを組み合わせる技法が $3$ つある。

① 線形性 — 和・定数倍はバラせる

② 置換積分 — $u=g(x)$ とおいて、ものさしを変える

③ 部分積分 — 積の微分公式の裏返し

これで、高校で出会う積分の大半は処理できる。

だが、微分と積分の"非対称性"は、忘れてはならない。

微分は、必ずできる。 どんな複雑な式でも、$3$ つの規則(和・積・合成)を機械的に適用すれば、有限回で終わる。

積分は、できないことがある。

$$\int e^{x^2}dx,\int \frac{\sin x}{x}dx,\int \frac{1}{\log x}dx$$

どれも、初等関数では書けない。

この違いは、どこから来るのか。

微分は「分解」だ。 複雑な関数を、部品に分けて、それぞれ微分して、組み立てる。必ず終わる。

積分は「発見」だ。 「微分するとこれになる関数」を、探し出さなければならない。見つかる保証はない。

この非対称性を、日常のたとえで言えばこうだ。

ガラスのコップを割るのは簡単だ(微分)。割れた破片から、元のコップを復元するのは難しい(積分)。

それでも、我々は積分を学ぶ。

なぜか。 世界の法則は、微分方程式で書かれているからだ。

$$F=ma=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$$

物理法則は「変化のルール」を語る。 だが、我々が知りたいのは「$1$ 時間後に、ロケットはどこにいるか」だ。

変化のルールから、実際の軌道を復元する。

それが積分である。

微分が「世界を記述する言語」なら、積分は「世界を予測する技術」なのだ。

次の単元(積分法の応用)では、この技術で、面積・体積・道のり・曲線の長さを計算していく。

$6$ つの公式と $3$ つの技法。

この道具箱を手に、いよいよ実戦へ向かおう。

別解

$1+{\tan }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ を使って、別の顔から見る。

三角関数の基本公式を、思い出そう。

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$

両辺を ${\cos }^{2}x$ で割る。

$${\tan }^{2}x+1=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$

つまり、この問題の積分は、こうも書ける。

$$\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\int \left(1+{\tan }^{2}x\right)dx$$

面白い形になった。

もし $\tan x+C$ が答えなら、この式が成り立つはずだ。

$$\int \left(1+{\tan }^{2}x\right)dx=\tan x+C$$

検算しよう。右辺を微分する。

$$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x✓$$

確かに、被積分関数に戻った。

この形から、${\tan }^{2}x$ の積分も分かる。

$$\int {\tan }^{2}xdx=\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-1\right)dx=\tan x-x+C$$

${\tan }^2$ の積分は、そのままでは手が出ない。 だが、$\frac{1}{{\cos }^2}$ に化けさせれば、一瞬で解ける。

「積分できない形を、積分できる形に書き換える」 — これが積分計算の全体戦略だ。

定積分でも確かめてみよう。

$${\int }_0^{\pi /4}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx={\left[\tan x\right]}_0^{\pi /4}=\tan \frac{\pi }{4}-\tan 0=1-0=1$$

きれいに $1$ になる。

この結果を、面積として味わおう。

$y=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ は、$x=0$ で高さ $1$、$x=\frac{\pi }{4}$ で高さ $2$ の、増加する曲線。

幅は $\frac{\pi }{4}\approx 0.785$。

台形なら面積 $\frac{1+2}{2}\times 0.785\approx 1.18$。

実際は $1$ — それより少し小さい。 曲線が下に凸で、台形の斜辺より下を通るからだ。

答えが $1$ という整数になるのは、$\tan \frac{\pi }{4}=1$ という美しい事実のおかげである。

そして、被積分関数は常に正だ。

$$\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$$

だから、$\tan x$ は定義域のどこでも増加する。

$-\frac{\pi }{2}$ から $\frac{\pi }{2}$ まで、$\tan$ は $-\infty$ から $+\infty$ へ、$1$ 度も下がることなく駆け上がる。

「導関数が常に正 $\Rightarrow$ 単調増加」

積分の式が、$\tan$ という関数の性格を、そのまま語っている。