定積分(sin)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 手順は、いつもの $2$ 段階だ。

① 原始関数: $\sin$ の原始関数は $-\cos$(マイナスがつく)。

② 端点を代入して引く。

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{\pi }=-\cos \pi -(-\cos 0)$$

ここで、符号のミスが起きやすい。 ていねいに計算しよう。

$$\cos \pi =-1,\cos 0=1$$

$$=-(-1)-(-1)=1+1=2$$

答えは $2$。

マイナスが $3$ つ絡むので、慎重に。

そして、答えの $2$ という数を、図で確かめる。

$\sin$ の山($0$ から $\pi$)は、幅 $\pi \approx 3.14$、高さ $1$。

長方形なら面積 $3.14$、三角形なら $1.57$。 その中間の $2$ という値は、なるほど妥当だ。

答えが出たら、大きさの感覚と照合する。 これが最良の検算である。

① 原始関数は $-\cos x$。

② 代入して引く。 $\cos \pi =-1$、$\cos 0=1$。

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi }=-\cos \pi -(-\cos 0)=-(-1)+1=2$$

まとめ:$\sin x$ の定積分は $-\cos x$ で計算。符号の処理($-\cos \pi =+1$、$-(-\cos 0)=+1$)がヤマ。$[0,\pi ]$ で $\sin x$ と $x$ 軸が囲む面積 $2$ という有名な値だ。

発展 — 一歩先へ。 $\sin$ の山の面積が、ちょうど $2$ という整数になる。この美しさは、偶然だろうか。

偶然ではない。弧度法を選んだ結果である。

もし度数法で角を測っていたら、どうなるか。

$${\int }_0^{180}\sin (x^{\circ })dx=\frac{360}{\pi }\approx 114.6$$

汚い数字になる。

弧度法だからこそ、$2$ という清潔な答えが出る。

弧度法の"ご褒美"は、いたるところに現れる。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$ $$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$ $${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$$

すべて、係数 $1$ や $2$ という、きれいな数になる。

度数法なら、どこにも $\frac{\pi }{180}$ という汚い係数が張りつく。

さて、$\sin$ の積分から、思わぬ結果が導ける。

$2$ 乗の積分を計算してみよう。

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx$$

半角の公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ を使う。

$$={\int }_0^{\pi }\frac{1-\cos 2x}{2}dx=\frac{1}{2}{\left[x-\frac{\sin 2x}{2}\right]}_0^{\pi }=\frac{1}{2}(\pi -0)=\frac{\pi }{2}$$

答えは $\frac{\pi }{2}$。

$\sin$ の積分は $2$($\pi$ なし)、${\sin }^2$ の積分は $\frac{\pi }{2}$($\pi$ あり)。

$2$ 乗しただけで、$\pi$ が現れた。

この $\frac{\pi }{2}$ は、電力の計算で決定的な意味をもつ。

交流の電力は、電圧の $2$ 乗に比例する。

$$P\propto V^2=V_0^2{\sin }^2(\omega t)$$

その平均は

$$\overline{{\sin }^2}=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{1}{\pi }\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{1}{2}$$

平均は、ちょうど $\frac{1}{2}$。

だから、交流の実効値は

$$V_{\text{実効}}=V_0\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{V_0}{\sqrt{2}}\approx 0.707V_0$$

家庭用の $100$ V は実効値なので、瞬間の最大電圧は

$$V_0=100\sqrt{2}\approx 141\text{V}$$

コンセントの電圧は、実は $\pm 141$ V の間を、$1$ 秒に $50$ 回(または $60$ 回)振動している。

「$100$ V」という表示は、$\int {\sin }^2$ という積分から出た数なのだ。

${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2$ という基本の計算。

その $2$ 乗版が、いまこの瞬間、部屋の照明を灯している。

別解

答えの $2$ を、「平均の高さ」として読み解く。

面積 $=$ 幅 $\times$ 平均の高さ、と考えてみよう。

$$\text{平均の高さ}=\frac{\text{面積}}{\text{幅}}=\frac{2}{\pi }\approx 0.6366$$

$\sin$ の山の「平均の高さ」は、約 $0.64$ である。

この数字が、なぜ大切か。

最大値は $1$(頂点)、最小値は $0$(両端)。 単純に $\frac{1+0}{2}=0.5$ と考えるのは間違いだ。

$\sin$ の山は、両端で急に立ち上がり、頂上付近では長く平らである。 だから、平均は真ん中($0.5$)より高くなる。

$$\frac{2}{\pi }\approx 0.64>0.5$$

「高いところに、長く留まっている」 — その分だけ平均が押し上げられている。

この $\frac{2}{\pi }$ という数は、工学の現場で頻繁に使われる。

交流を整流(全波整流)して直流にすると、その平均値は最大値の $\frac{2}{\pi }\approx 0.64$ 倍になる。

電源アダプタの設計で、必ず出てくる係数だ。

さらに、対称性を使うと、計算が半分になる。

$${\int }_0^{\pi }\sin xdx=2{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx$$

なぜか。 $\sin$ の山は、$x=\frac{\pi }{2}$ を軸に左右対称だからだ。

$$\sin \left(\frac{\pi }{2}+t\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-t\right)$$

確かめる。

$${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{\pi /2}=0+1=1$$

$$2\times 1=2✓$$

対称性を見つけたら、半分だけ計算して $2$ 倍する。 計算量が減り、ミスも減る。

もう $1$ つ、大事な区別をしておこう。

$0$ から $2\pi$ まで(丸ごと $1$ 周期)積分すると?

$${\int }_0^{2\pi }\sin xdx={\left[-\cos x\right]}_0^{2\pi }=-1+1=0$$

$0$ になる。

山($0\sim \pi$、面積 $+2$)と谷($\pi \sim 2\pi$、面積 $-2$)が、打ち消し合うからだ。

「積分が $0$」と「面積が $0$」は、まったく別のこと。

実際の面積(絶対値)を知りたければ

$${\int }_0^{2\pi }|\sin x|dx=2+2=4$$

絶対値をつけて、$x$ 軸の下も正として数える。

この区別を忘れると、「速度を積分して道のりを求めよ」という問題で、必ず間違える。

• 変位 $=\int vdt$(符号つき)
• 道のり $=\int |v|dt$(絶対値)

符号つきか、絶対値か。 問題文が何を聞いているかを、必ず見極めよう。