部分分数(x²-1)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{x^2-1}$ の分母は $(x-1)(x+1)$ と因数分解できる。

そこで部分分数に分ける。分母の差が $2$ だから、係数 $\frac{1}{2}$ が前に出る。

「$2$ 乗差の分母は因数分解して部分分数、それから $\log$」という流れを踏む。

① 部分分数に分ける。 $x^2-1=(x-1)(x+1)$。分母の差 $(x+1)-(x-1)=2$。

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$$

② 各項を積分する。

$$\int =\frac{1}{2}(\log |x-1|-\log |x+1|)+C$$

③ $\log$ をまとめる。

$$=\frac{1}{2}\log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$$

まとめ:$\frac{1}{x^2-1}$ は因数分解して部分分数。分母の差が $2$ なので係数 $\frac{1}{2}$ が前に出る。各項の $\log$ を商にまとめて完成。$\frac{1}{2}$ を忘れると $2$ 倍ずれるので注意だ。

発展 — 一歩先へ。 一般に $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\log \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$。分母の差が $2a$ なので、その逆数 $\frac{1}{2a}$ が前に出る。いまの問題は $a=1$ の場合だ。

面白いのは、分母の符号を変えた $\int \frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$ との対比だ。たった $1$ つの符号の違いで、答えが対数から逆正接へ、まったく別の関数に変わる。

前者は $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ と実数で因数分解できるので対数、後者は実数では分解できないので逆正接になる。分母が実数で割れるかどうかが、対数と逆正接の分かれ道だ。

別解

別解 — $2$ 因数の比を新しい変数にとる(得意な人向けの視点)。 部分分数に分けず、置換一発でも求まる。

分母の $2$ つの因数の比 $t=\frac{x-1}{x+1}$ を新しい変数にとる。$x$ について解くと $x=\frac{1+t}{1-t}$、微分して $dx=\frac{2}{(1-t{)}^2}dt$。

一方 $x-1=\frac{2t}{1-t}$、$x+1=\frac{2}{1-t}$ だから

$$x^2-1=(x-1)(x+1)=\frac{2t}{1-t}\cdot \frac{2}{1-t}=\frac{4t}{(1-t{)}^2}.$$

これらを代入すると、$(1-t{)}^2$ がきれいに約分されて

$$\int \frac{dx}{x^2-1}=\int \frac{(1-t{)}^2}{4t}\cdot \frac{2}{(1-t{)}^2}dt=\int \frac{1}{2t}dt=\frac{1}{2}\log |t|+C.$$

$t$ をもとに戻して $\frac{1}{2}\log \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$。

部分分数に分ける本解と同じ答え。$2$ 因数の比を変数にとると、分数関数が一気に $\frac{1}{2t}$ という最も単純な形にほどける。分母が $0$ になる $x=1,-1$ が、それぞれ $t=0,\infty$ に移って積分が素直になるのがしくみだ。