不定積分(負の指数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{x^2}$ を見ると、「また対数か?」と思うかもしれない。

違う。 対数になるのは、$\frac{1}{x}$ だけだ。

指数に直して確かめよう。

$$\frac{1}{x^2}=x^{-2}$$

累乗の公式が使えるのは、$n\ne -1$ のとき。

今回は $n=-2$。 $-1$ ではないので、公式が使える。

$$\int x^{-2}dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}+C$$

答えにマイナスがつくのは、$-1$ で割ったからだ。

検算しよう。

$${\left(-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{1}{x^2}✓$$

「分数の形を見たら対数」ではない。

$\frac{1}{x}$(指数 $-1$)だけが例外で、それ以外は累乗の公式。 この区別を、確実にしておこう。

① 指数に直す。 $\frac{1}{x^2}=x^{-2}$。$n=-2$($\ne -1$)なので公式が使える。

② 公式で積分する。 指数を $1$ 増やして $x^{-1}$、その数 $-1$ で割る。

$$\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x}+C$$

まとめ:$\frac{1}{x^2}$ は $x^{-2}$ に直せば累乗の公式が使える($n=-2$ は例外の $-1$ ではない)。積分結果 $-\frac{1}{x}$ を微分すると $\frac{1}{x^2}$ に戻る。$\frac{1}{x}$($n=-1$)だけが $\log$ になる例外だ。

発展 — 一歩先へ。 「無限に広がるのに、面積は有限」— この不思議を、もう一歩進めてみよう。

トリチェリのラッパ(ガブリエルのホルン)という、有名な図形がある。

$y=\frac{1}{x}$($x\geqq 1$)を、$x$ 軸のまわりに $1$ 回転させてできる立体だ。

無限に長い、細くなっていくラッパの形をしている。

この立体の体積を計算しよう。

$$V=\pi {\int }_1^{\infty }{\left(\frac{1}{x}\right)}^{2}dx=\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx=\pi {\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^{\infty }=\pi (0+1)=\pi$$

体積は $\pi$ — 有限だ!

無限に長い立体なのに、$\pi$ リットルの水で満たせる。

次に、表面積を計算する。

表面積の公式は複雑だが、下から評価するだけで十分だ。

$$S>2\pi {\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx=2\pi {\left[\log x\right]}_1^{\infty }=\infty$$

表面積は、無限大。

まとめると、こうなる。

$$\boxed{\text{体積}=\pi (\text{有限}),\text{表面積}=\infty }$$

ここに、有名な逆説が生まれる。

「このラッパは、$\pi$ リットルのペンキで満たせる。」

「だが、内側の表面を塗るには、無限のペンキが要る。」

満たせるのに、塗れない?

どこがおかしいのか。

おかしくない。 数学的には、どちらも正しい。

逆説の正体は、「ペンキを塗る」という物理的なイメージにある。

現実のペンキには、厚みがある。 厚み $t$ のペンキを塗るなら、必要な量は「表面積 $\times$ $t$」で、確かに無限になる。

だが、ラッパの細い部分では、直径がペンキの厚みより小さくなってしまう。 そこはもう「塗る」ことができない。

一方、「満たす」というのは、厚みゼロの数学的な体積の話だ。

「無限の表面積」と「有限の体積」は、矛盾しない。 我々の直感が、$3$ 次元の物理的な感覚に縛られているだけである。

この図形を発見したトリチェリ($1608$–$1647$)は、当時の数学者たちを震撼させた。

「無限は、有限に含まれうる」

この事実は、無限という概念への理解を、根本から書き換えた。

$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}$ という、なんでもない公式。

その中に、$400$ 年前に人類を悩ませた、無限の逆説が眠っている。

別解

$\frac{1}{x^2}$ と $\frac{1}{x}$ の運命の違いを、「無限まで積分する」ことで見る。

どちらも $x\to \infty$ で $0$ に近づく関数だ。 グラフの形も似ている。

だが、無限まで積分すると、正反対の結果になる。

まず、$\frac{1}{x^2}$ を、$1$ から $M$ まで積分する。

$${\int }_1^M\frac{1}{x^2}dx={\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^M=-\frac{1}{M}+1=1-\frac{1}{M}$$

$M$ をどんどん大きくすると?

$$M=10:0.9,M=100:0.99,M=10000:0.9999$$

$$\underset{M\to \infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{M}\right)=1$$

無限まで積分しても、面積は $1$ に収まる!

無限に広がる領域なのに、面積は有限。

次に、$\frac{1}{x}$ で同じことをする。

$${\int }_1^M\frac{1}{x}dx={\left[\log x\right]}_1^M=\log M$$

$M$ を大きくすると?

$$M=10:2.30,M=100:4.61,M=10^{10}:23.03$$

$$\underset{M\to \infty }{\lim }\log M=\infty$$

発散する。 面積は無限大になってしまう。

同じような形の $2$ つの曲線。片方は面積が有限、もう片方は無限。

この差は、どこから来るのか。

「$0$ への近づき方の速さ」だ。

$$\frac{1}{x^2}\text{は}\frac{1}{x}\text{より速く }0\text{ に近づく}$$

$x=100$ で比べると、$\frac{1}{100^2}=0.0001$ に対し、$\frac{1}{100}=0.01$。$100$ 倍の差だ。

すそが薄いほうが、面積を稼がない。

この境目が、ちょうど $\frac{1}{x}$ にある。

$${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{ll}\text{収束}& (p>1)\\ \text{発散}& (p\leqq 1)\end{array}$$

$p=1$、つまり $\frac{1}{x}$ が、収束と発散を分ける境界線なのだ。

そして、この境界は、無限級数の話と完全に対応している。

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=\infty (\text{調和級数 — 発散})$$

$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}(\text{収束})$$

積分の収束・発散と、級数の収束・発散が、同じ境界をもつ。

これは偶然ではない。 積分は「連続的な足し算」、級数は「離散的な足し算」で、本質的に同じものだからだ(積分判定法)。

$\frac{1}{x}$ という関数は、あらゆる意味で"境界線上"にいる。

• 積分公式: 累乗公式が使えない唯一の例外
• 原始関数: べき関数でなく、対数
• 広義積分: 収束と発散の境目
• 級数: 収束と発散の境目

この $4$ つの"特別扱い"は、すべて同じ根っこから生えている。