部分積分の循環(e^x cos x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e^x\cos x$ は、部分積分しても $e^x\sin x$ が出るだけで消えない。だが、そこでもう一度部分積分すると元の $\int e^x\cos xdx$ が戻ってくる。

戻ってきたら方程式とみる。$I=\int e^x\cos xdx$ とおくと、部分積分2回で $I=e^x\cos x+e^x\sin x-I$ の形。

右辺に $I$ が符号を変えて現れるのがカギ。$2I=e^x(\cos x+\sin x)$ と移項して、$I$ について解けばよい。「積分が自分自身に戻る」タイプの循環だ。

① $1$ 回目。 $I=\int e^x\cos xdx$。$e^x$ を積分、$\cos x$ を微分すると $$I=e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)dx=e^x\cos x+\int e^x\sin xdx.$$ ② $2$ 回目。 $\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-I$。代入して $$I=e^x\cos x+e^x\sin x-I.$$ ③ $I$ について解く。 $2I=e^x(\cos x+\sin x)$ より $$I=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x+\cos x)+C.$$ (検算:$\frac{d}{dx}\left\{\frac{1}{2}{e}^x(\sin x+\cos x)\right\}=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x+\cos x)+\frac{1}{2}{e}^x(\cos x-\sin x)=e^x\cos x$。)

まとめ $2$ 回部分積分すると $I=e^x(\cos x+\sin x)-I$、解いて $I=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x+\cos x)+C$。部分積分(循環型)と移項の融合。

発展 — 一歩先へ。 複素指数の見方(別解)なら、$\int e^{ax}\cos bxdx$ も $e^{(a+bi)x}$ の実部として一発で出る。答えの分母に現れる $a^2+b^2$(=$|a+bi{|}^2$)は、部分積分の循環で $2$ 回微分したときの係数の正体。微分方程式(強制振動)でこの積分が主役になる。

別解

別解 — 複素指数 $e^{(1+i)x}$ で一気に(得意な人向けの高い視点)。 $e^x\cos x$ は複素指数 $e^{(1+i)x}=e^x(\cos x+i\sin x)$ の実部だ。複素指数の積分は指数関数と同じで簡単。

$$\int e^{(1+i)x}dx=\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}+C.$$

$\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{2}$ を掛けて実部をとる。$e^x(\cos x+i\sin x)\cdot \frac{1-i}{2}$ の実部は

$$\frac{e^x}{2}(\cos x+\sin x).$$

部分積分の循環(本解)で $I$ について解いた結果と、ぴったり一致する。

しかも虚部を見れば $\int e^x\sin xdx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)$ もタダで手に入る。「三角関数 $\times$ 指数」の積分は、複素指数に持ち上げると割り算1回で済む。