対称性を使う定積分(1/(1+tan x))

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{1+\tan x}$ の原始関数を正面から探すのは苦しい。区間 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ の対称性を使う。

置換 $x\to \frac{\pi }{2}-x$ をすると $\tan$ が $\cot$ に変わり、被積分関数は $\frac{\tan x}{1+\tan x}$ になる。これを $J$ とおく。

$I+J$ は、2つの分数の和が $1$ になって ${\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}$。$I=J$ とあわせて $I=\frac{\pi }{4}$。対称性で「和」を先に出す作戦だ。

① 置換で $J$ を作る。 $I={\int }_0^{\pi /2}\frac{1}{1+\tan x}dx$。$x\to \frac{\pi }{2}-x$ とすると $$I={\int }_0^{\pi /2}\frac{1}{1+\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{1}{1+\frac{1}{\tan x}}dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{\tan x}{\tan x+1}dx=:J.$$ よって $I=J$。

② $I+J$。 $$I+J={\int }_0^{\pi /2}\left(\frac{1}{1+\tan x}+\frac{\tan x}{1+\tan x}\right)dx={\int }_0^{\pi /2}\frac{1+\tan x}{1+\tan x}dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}.$$ ③ 結論。 $I=J$ より $2I=\frac{\pi }{2}$、 $$I=\frac{\pi }{4}.$$

まとめ 置換 $x\to \frac{\pi }{2}-x$ で $I=J$、$I+J={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}$、よって $I=\frac{\pi }{4}$。定積分(対称性)と置換の融合。原始関数を求めずに値が出る。

発展 — 一歩先へ。 この対称化は一般に ${\int }_0^a\frac{f(x)}{f(x)+f(a-x)}dx=\frac{a}{2}$ という形にまとまる(分子と“折り返した分子”を足すと分母)。原始関数がどんなに複雑でも、この形なら値は区間の半分。「置換 $x\to a-x$ で和をとる」は、難しい定積分を機械的に片づける強力な型だ。

別解

別解 — $\cos$ の形に直して対称性を見る(苦手な人向け)。 $\frac{1}{1+\tan x}$ は $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ を代入すると

$$\frac{1}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}=\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}.$$

分母が $\cos x+\sin x$、分子が $\cos x$ の形になった。ここで $x\to \frac{\pi }{2}-x$ の置換をすると、$\cos$ と $\sin$ が入れ替わって $\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}$ になる。

この2つを足すと、分子が $\cos x+\sin x=$ 分母だから、和はちょうど $1$。よって

$$I+I={\int }_0^{\pi /2}\frac{\cos x+\sin x}{\cos x+\sin x}dx={\int }_0^{\pi /2}1dx=\frac{\pi }{2}.$$

$I=\frac{\pi }{4}$。$\tan$ のままだと見えにくい対称性が、$\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}$ に直すと「分子と分子を足すと分母」という形ではっきりする。