数学III / 積分法の計算

部分積分((log x)² の定積分)

実戦編積分法の計算部分積分対数反復単元横断

問題

定積分 $\int_{1}^{e} (lo g x)^{2} d x$ を求めよ。

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$1$ を積分、 $(lo g x)^{2}$ を微分して部分積分。 ${(lo g x)^{2}}^{'} = \frac{2 lo g x}{x}$ 。残る $\int lo g x d x = x lo g x - x$ 。

解答・解説

方針

$(lo g x)^{2} = 1 \cdot (lo g x)^{2}$ とみて部分積分する( $1$ を積分、 $(lo g x)^{2}$ を微分)。残る $\int lo g x d x$ もさらに部分積分する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(lo g x)^{2}$ は単独では積分しにくい。 $(lo g x)^{2} = 1 \cdot (lo g x)^{2}$ とみて、 $1$ を積分・ $(lo g x)^{2}$ を微分する部分積分にかける。

$1$ 回目で $[x (lo g x)^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 lo g x d x$ 。次数が $(lo g x)^{2} \to lo g x$ と1つ下がった。

残った $\int lo g x d x$ も、同じく $1 \cdot lo g x$ の部分積分で $x lo g x - x$ 。2段階の部分積分で片づく。

重要

\int lo g x d x = x lo g x - x + C

(

1 \cdot lo g x

の部分積分)

① $1$ 回目。 $1$ を積分( $x$ )、 $(lo g x)^{2}$ を微分( $\frac{2 lo g x}{x}$ )して $\int_{1}^{e} (lo g x)^{2} d x = [x (lo g x)^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{2 lo g x}{x} d x = [x (lo g x)^{2}]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} lo g x d x .$ $[x (lo g x)^{2}]_{1}^{e} = e \cdot 1^{2} - 1 \cdot 0 = e$ 。

② $\int lo g x d x$ 。 $\int_{1}^{e} lo g x d x = [x lo g x - x]_{1}^{e} = (e \cdot 1 - e) - (0 - 1) = 0 - (- 1) = 1.$ ③ まとめる。 $\int_{1}^{e} (lo g x)^{2} d x = e - 2 \cdot 1 = e - 2.$

まとめ $1 \cdot (lo g x)^{2}$ を部分積分し、残る $\int lo g x d x = 1$ を使って $e - 2 \cdot 1 = e - 2$ 。部分積分(反復)と対数の融合。見えない $1$ を積分因子に。

発展 — 一歩先へ。 置換 $x = e^{t}$ で $\int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x = \int_{0}^{1} t^{n} e^{t} d t$ となり、前問の $I_{n}$ と同一の漸化式 $= e - n J_{n - 1}$ 。さらに $\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{- t} d t = n!$ (ガンマ関数)まで広げると、階乗が積分で定義できる。 $(lo g x)^{n}$ の積分は、階乗の連続化への入り口である。

答

$(lo g x)^{2} \cdot 1$ を部分積分すると $[x (lo g x)^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 lo g x d x$ 。 $\int lo g x d x = x lo g x - x$ 。計算すると $e \cdot 1 - 2 [x lo g x - x]_{1}^{e} = e - 2 {(e - e) - (0 - 1)} = e - 2$ 。

別解

別解 — 漸化式 $J_{n} = e - n J_{n - 1}$ でまとめて(得意な人向けの高い視点)。 $J_{n} = \int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x$ とおくと、 $1 \cdot (lo g x)^{n}$ の部分積分で

$J_{n} = [x (lo g x)^{n}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} n (lo g x)^{n - 1} d x = e - n J_{n - 1} .$

( $x = e$ で $(lo g e)^{n} = 1$ 、 $x = 1$ で $(lo g 1)^{n} = 0$ 。) $J_{0} = \int_{1}^{e} 1 d x = e - 1$ から

$J_{1} = e - 1 \cdot (e - 1) = 1, J_{2} = e - 2 \cdot 1 = e - 2.$

本問の答え $e - 2$ 。 $J_{3} = e - 3 (e - 2) = 6 - 2 e$ も一発で続けられる。

じつはこの漸化式は、前問 $I_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} e^{x} d x$ の $I_{n} = e - n I_{n - 1}$ と全く同じ形。置換 $x = e^{t}$ で $\int_{1}^{e} (lo g x)^{n} d x = \int_{0}^{1} t^{n} e^{t} d t$ と移り合うからだ。2段階の部分積分(本解)を、漸化式1本にまとめて見通す道である。

ポイント

$1 \cdot (lo g x)^{2}$ とみて部分積分。
$[x (lo g x)^{2}]_{1}^{e} = e$ 。
$\int_{1}^{e} lo g x d x = 1$ 、答え $e - 2$ 。

よくある間違い

$(lo g x)^{2} = 1 \cdot (lo g x)^{2}$ とみる発想に至らず、部分積分の相手( $1$ を積分)を見つけられない。
残る $\int lo g x d x = x lo g x - x$ をさらに部分積分せず、 $lo g x$ の原始関数を誤る。
境界の代入( $x = e$ で $lo g e = 1$ 、 $x = 1$ で $lo g 1 = 0$ )を取り違える。