不定積分(根号)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 根号のままでは、公式が当てはまらない。

指数に直す。

$$\sqrt{x}=x^{1/2}$$

これで、累乗の公式が使える。

$$\int x^{p}dx=\frac{x^{p+1}}{p+1}+C$$

$p=\frac{1}{2}$ を入れる。

$$\int x^{1/2}dx=\frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+C$$

$\frac{3}{2}$ で割る $=$ $\frac{2}{3}$ を掛ける。 分数の割り算は、逆数を掛ける。

最後に、根号の形に戻す。

$$x^{3/2}=x\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x}$$

$$\int \sqrt{x}dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$$

「根号 → 分数指数 → 公式 → 根号に戻す」

微分のときと、まったく同じ $4$ ステップだ。

① 指数に直す。 $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$。

② 公式で積分する。 指数を $1$ 増やして $x^{\frac{3}{2}}$、その数 $\frac{3}{2}$ で割る。

$$\int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$$

まとめ:$\sqrt{x}$ は $x^{\frac{1}{2}}$ に直せば累乗の公式が使える(数III では $p$ が分数でもOK)。$\frac{3}{2}$ で割る = $\frac{2}{3}$ をかける。答えは $x^{\frac{3}{2}}=x\sqrt{x}$ に戻して書く。

発展 — 一歩先へ。 $y=\sqrt{x}$ の下の面積が $\frac{2}{3}$、$y=x^2$ の下が $\frac{1}{3}$。$2$ つで正方形を分ける。

この関係は、逆関数の一般的な性質に根ざしている。

$f$ と、その逆関数 $f^{-1}$ について、こんな公式がある。

$${\int }_0^{a}f(x)dx+{\int }_0^{f(a)}{f}^{-1}(y)dy=a\cdot f(a)$$

右辺は、長方形の面積だ。

左辺の $2$ つの積分が、その長方形を分け合っている。

なぜ、こうなるのか。

$y=f(x)$ のグラフを描き、点 $(a,f(a))$ を取る。 原点とこの点を対角線とする長方形を考える。

グラフは、この長方形を $2$ つの部分に分ける。

• グラフの下(x軸側) → ${\int }_0^{a}f(x)dx$
• グラフの上(y軸側) → 横向きに見れば、逆関数の積分

「上の部分」を、首を $90^{\circ }$ 傾けて見てみよう。

$y$ を横軸、$x$ を縦軸にすると、それは $x=f^{-1}(y)$ のグラフの下の面積だ。

$${\int }_0^{f(a)}{f}^{-1}(y)dy$$

$2$ つを足せば、長方形全体。

この問題で確かめよう。 $f(x)=x^2$、$f^{-1}(y)=\sqrt{y}$、$a=1$。

$${\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_0^1\sqrt{y}dy=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1=1\times 1✓$$

長方形($1\times 1$ の正方形)の面積に、ぴったり一致する。

この公式(ヤングの不等式の等号版)は、実用的だ。

片方の積分が難しくても、もう片方が簡単なら、引き算で求まる。

例: ${\int }_0^1\arcsin xdx$ を求めよ。

$\arcsin$ の積分は、部分積分が要る。面倒だ。

だが、逆関数の $\sin$ なら簡単に積分できる。

$${\int }_0^1\arcsin xdx=1\cdot \frac{\pi }{2}-{\int }_0^{\pi /2}\sin ydy=\frac{\pi }{2}-1$$

($\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$ を使った。)

$3$ 行で終わった。

「難しい積分は、逆関数の積分に翻訳する」

この技法は、$\log$ の積分でも使える。

$${\int }_1^e\log xdx=e\cdot 1-{\int }_0^1{e}^{y}dy=e-(e-1)=1$$

$\log$ の積分が、$e^x$ の積分から出てきた。

面積を、$2$ つの向きから見る。

縦に切るか、横に切るか。

この $1$ つの視点の転換が、計算を劇的に簡単にすることがある。

$\frac{2}{3}$ と $\frac{1}{3}$ — この $2$ つの数の和が $1$ になるという、小さな発見。

そこから、逆関数の積分公式という、汎用的な武器が手に入る。

別解

係数 $\frac{2}{3}$ の意味を、面積として"見る"。

$0$ から $1$ まで、$y=\sqrt{x}$ の下の面積を求めよう。

$${\int }_0^1\sqrt{x}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^{3/2}\right]}_0^1=\frac{2}{3}$$

面積は $\frac{2}{3}$。

この $\frac{2}{3}$ には、美しい意味がある。

同じ区間で、$y=x^2$(放物線)の下の面積を計算しよう。

$${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{1}{3}$$

$\frac{1}{3}$ だ。

$2$ つを足すと

$$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$$

ぴったり $1$!

これは、$1$ 辺 $1$ の正方形の面積である。

なぜ、こうなるのか。

$y=\sqrt{x}$ と $y=x^2$ は、互いに逆関数だ。 グラフは $y=x$ に関して対称になる。

正方形 $[0,1]\times [0,1]$ の中で、

• 放物線 $y=x^2$ の下の部分 → 面積 $\frac{1}{3}$
• その上の部分(つまり $y=\sqrt{x}$ の下の部分を、$y=x$ で折り返したもの)→ 面積 $\frac{2}{3}$

$2$ つで正方形を、$1:2$ に分割している。

この事実を、アルキメデスは $2000$ 年前に知っていた。

「放物線は、それを囲む長方形を $1:2$ に分ける」

当時は積分がなかったので、取り尽くし法という、無限に細かい三角形を足し上げる方法で証明した。 何ページもかかる、大変な作業だった。

それが今や、$\frac{x^3}{3}$ という $1$ 行で片づく。

さらに一般化してみよう。

$${\int }_0^1{x}^{n}dx=\frac{1}{n+1}$$

$n$ が大きいほど、面積は小さくなる。

$$n=1:\frac{1}{2},n=2:\frac{1}{3},n=3:\frac{1}{4},n=10:\frac{1}{11}$$

$x^{10}$ は、$x=1$ の直前までほとんど $0$ に張りついている。 だから面積が小さい。

そして、$\sqrt{x}=x^{1/2}$ なら

$${\int }_0^1{x}^{1/2}dx=\frac{1}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$$

公式が、分数の指数でもそのまま成り立つ ✓

「$n$ が $1$ より小さいほど、面積は $1$ に近づく」

$$n=\frac{1}{10}:{\int }_0^1{x}^{1/10}dx=\frac{10}{11}\approx 0.909$$

$x^{1/10}$ は、$0$ の直後で急激に立ち上がり、ほとんど $1$ に張りついている。 だから面積が $1$ に近い。

指数 $n$ を $-\infty$ から $\infty$ まで動かすと、面積 $\frac{1}{n+1}$ が連続的に変わっていく。

その途中、$n=-1$ で分母が $0$ になり、破綻する。

そこだけが、対数の領分だ。

$1$ つの公式の中に、$\sqrt{x}$ も $x^2$ も $\frac{1}{x^2}$ も、すべて含まれている。 指数を実数に拡張した、その恩恵である。