定積分(√(1-x²))

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ には $x=\sin \theta$ の置換を使う。

$\sqrt{1-x^2}=\cos \theta$ になり、${\cos }^2\theta$ の積分(半角)に化ける。

「$\sqrt{1-x^2}$ を見たら $\sin$ 置換」という三角置換の定跡だ。結果は四分円の面積とも一致する。

① 置換する。 $x=\sin \theta$ とおくと $\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-{\sin }^2\theta }=\cos \theta$、$dx=\cos \theta d\theta$。区間は $x=0\to \theta =0$、$x=1\to \theta =\frac{\pi }{2}$。

② 被積分関数を書きかえる。

$${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \theta \cdot \cos \theta d\theta ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^2\theta d\theta$$

③ 半角で積分する。 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$。

$$=[\frac{\theta }{2}+\frac{\sin 2\theta }{4}{]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{\pi }{4}+0=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:$\sqrt{1-x^2}$ は $x=\sin \theta$ で置換すると $\cos \theta$ になり、$dx$ の $\cos \theta$ と合わせて ${\cos }^2\theta$。半角で積分する。これは半径 $1$ の四分円の面積 $\frac{\pi }{4}$ に一致する(図形的な確認)。

発展 — 一歩先へ。 この積分の原始関数は $\frac{1}{2}(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x)$ と書ける。微分すると $\sqrt{1-x^2}$ に戻る。これは「$0$ から $x$ までの、曲線の下の面積」を $x$ の関数として与える式だ。

同じ考えは楕円にも広がる。円 $x^2+y^2=1$ を縦に $b$ 倍、横に $a$ 倍だけ引き伸ばすと楕円になり、面積も $ab$ 倍になる。だから楕円の面積は $\pi ab$。円の面積 $\pi$ に縦横の倍率を掛けた形だ。

「曲線の下の面積」を積分で測るという発想は、円から楕円へ、さらに一般の曲線へとそのまま伸びていく。根号のついた関数の積分の多くは、こうして面積として図形的に読める。

別解

別解 — 面積とみて計算する(苦手な人向けの視点)。 積分を計算せず、図形の面積として求められる。

$y=\sqrt{1-x^2}$ は、両辺を $2$ 乗すると $x^2+y^2=1$($y\ge 0$)。つまり半径 $1$ の円の上半分を表す。

定積分 ${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ は、この曲線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた部分の面積。$x$ が $0$ から $1$、$y$ が上半分だから、ちょうど円の $\frac{1}{4}$ にあたる。

円 $x^2+y^2=1$ の面積は $\pi \cdot 1^2=\pi$。その $\frac{1}{4}$ だから

$${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{4}.$$

$x=\sin \theta$ で置換する本解と同じ答え。原始関数を求めなくても、「これは何の面積か」と問い直すだけで値が出る。積分と面積はもともと同じものだ、という原点に立ち返る見方だ。