置換積分(根号)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 根号の中身が $2x+1$ という1次式 — もっとも軽い置換で済む形だ。

$t=2x+1$ とおくと $dt=2dx$、$dx=\frac{1}{2}dt$。

$$\int t^{-1/2}\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}\cdot 2t^{1/2}+C=\sqrt{2x+1}+C$$

$\frac{1}{\sqrt{t}}=t^{-1/2}$ とべきに読み替えて累乗の公式、が中身のすべて。1次式の置換は $dt$ が定数倍にしかならないので、必ず成功する。

① 置換する。 $t=2x+1$ とおくと $dt=2dx$、$dx=\frac{1}{2}dt$。

② $t$ の積分にする。

$$\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{t}}\cdot \frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}dt$$

③ 累乗の公式で積分する。 $\int t^{-\frac{1}{2}}dt=2t^{\frac{1}{2}}$。

$$=\frac{1}{2}\cdot 2t^{\frac{1}{2}}+C=\sqrt{t}+C=\sqrt{2x+1}+C$$

まとめ:$\sqrt{2x+1}$ のような「$1$ 次式の根号」は $t=2x+1$ で置換。$dx=\frac{1}{2}dt$ の $\frac{1}{2}$ が出る。あとは $t^{-\frac{1}{2}}$ を累乗の公式で。$\frac{1}{2}\times 2=1$ できれいに $\sqrt{2x+1}$ に戻る。

発展 — 一歩先へ。 答えの検算はいつでも微分で: ${\left(\sqrt{2x+1}\right)}^{\prime }=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ — 連鎖律の $2$ と根号の微分の $\frac{1}{2}$ が打ち消し合う様子が、答えに係数が付かなかった理由そのものだ。

根号の中が $2$ 次式になると難度が跳ね上がる。$\sqrt{1-x^2}$ は $x=\sin \theta$、$\sqrt{x^2+1}$ は $x=\tan \theta$ — 中身の次数が、必要な置換の重さを決める。「1次はずらすだけ、2次は三角関数」という地図を持っておこう。

別解

中身が1次式のときだけ使える速記を知っていると、置換の手続きすら省略できる。

$F(x)$ が $f(x)$ の原始関数なら

$$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$$

— 「中身が $ax+b$ なら、そのまま積分して係数 $a$ で割る」。理由は微分の検算で一目: $F(ax+b)$ を微分すると連鎖律で $a$ が飛び出すから、先回りして $\frac{1}{a}$ を掛けておくのだ。

今回は $f(u)=\frac{1}{\sqrt{u}}$(原始関数 $F(u)=2\sqrt{u}$)、$a=2$ だから

$$\int \frac{dx}{\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2x+1}+C=\sqrt{2x+1}+C$$

$1$ 行で終わる。$\int \cos (3x+1)dx=\frac{\sin (3x+1)}{3}+C$、$\int e^{5x}dx=\frac{e^{5x}}{5}+C$ — 数IIIの積分で最頻出の操作なので、置換を書かずにこの形で処理できるようにしておくと、複雑な問題での消耗が大きく減る。ただし使えるのは中身が1次式のときだけ($x^2$ 入りでは連鎖律の出す $2x$ が定数でないため不成立)。