置換積分(指数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 被積分関数に「中身 $x^2$」と「その微分 $2x$」がセットで入っている — 置換積分の合図だ。

$t=x^2$ とおくと $dt=2xdx$。式の中の $2xdx$ がそっくり $dt$ に置き換わって

$$\int e^{t}dt=e^t+C=e^{x^2}+C$$

「中身と中身の微分のペアを探す」— 置換積分の目の付け所はこの一点である。

① 置きかえる。 $t=x^2$ とおくと $\frac{dt}{dx}=2x$、すなわち $dt=2xdx$。

② $t$ の積分にする。 $2xdx$ がそのまま $dt$ になる。

$$\int 2x{e}^{x^2}dx=\int e^{t}dt=e^t+C$$

③ $x$ に戻す。

$$=e^{x^2}+C$$

まとめ:置換積分は「中身を $t$ とおき、その微分 $dt$ がそろっているか見る」。ここは $2xdx=dt$ がぴったり。$\int e^{t}dt=e^t$ と簡単になり、最後に $x$ に戻す。$(e^{x^2}{)}^{\prime }=2x{e}^{x^2}$ の逆をたどっている。

発展 — 一歩先へ。 係数がぴったりでない場合の調整も知っておきたい。$\int x{e}^{x^2}dx$ なら $2x$ でなく $x$ しかないが、$\frac{1}{2}\int 2x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$ と定数倍で埋め合わせできる。定数の過不足は調整できるが、$x$ の過不足は調整できない($\int e^{x^2}dx$ 単体は高校の関数では書けない有名な例)— この線引きが置換の適用範囲を決める。

「セットが揃っているか」を見る目は、$\int \sin x\cos xdx$($t=\sin x$)、$\int \frac{\log x}{x}dx$($t=\log x$)など、この単元の置換問題すべてに通じる共通の入口である。

別解

積分は「微分の逆演算」— この原点に立ち返ると、置換の正体が見える。

答えの候補 $e^{x^2}$ を微分してみる。合成関数の微分(外はそのまま、内側の微分を掛ける)で

$${\left(e^{x^2}\right)}^{\prime }=e^{x^2}\cdot 2x$$

— 被積分関数そのものだ。だから $\int 2x{e}^{x^2}dx=e^{x^2}+C$。

つまり置換積分とは、合成関数の微分を逆回しに再生する装置である。微分では「内側の微分 $2x$ が自動で出てくる」、積分では「$2x$ が最初から用意されているかを確認して、外側だけ積分する」— 同じ連鎖律を、逆向きに使っている。

この見方の実用点は検算にある。積分の答えを出したら必ず微分して元に戻るか確かめる — 微分は機械的にできるので、積分の答えの正誤は自分で完全に判定できる。積分が「答え合わせ付きの計算」であることは、この単元最大の安心材料だ。