定積分(1/x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 定積分の手順は、$2$ 段階だ。

① 原始関数を求める → ② 上端と下端を代入して、引く

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\left[F(x)\right]}_a^b=F(b)-F(a)$$

この問題では、原始関数は $\log |x|$。

積分区間 $[1,e]$ は、すべて正なので、絶対値は外してよい。

$${\int }_1^e\frac{1}{x}dx={\left[\log x\right]}_1^e=\log e-\log 1$$

ここで、$\log$ の値を思い出す。

$$\log e=1(\text{e の 1 乗が e だから})$$ $$\log 1=0(\text{e の 0 乗が 1 だから})$$

$$=1-0=1$$

答えは、ぴったり $1$。

上端が $e$ に選ばれているのは、偶然ではない。 面積がちょうど $1$ になるように、$e$ が定められているのだ。

その意味は、別解で明らかにする。

① 原始関数を求める。 $\log |x|$($1\leqq x\leqq e$ で正なので $\log x$)。

② 代入して引く。

$${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=[\log x{]}_1^e=\log e-\log 1=1-0=1$$

まとめ:$\frac{1}{x}$ の定積分は $\log$ で計算する。$\log e=1$、$\log 1=0$ を使う。区間 $[1,e]$ の面積がちょうど $1$ になる、きれいな結果だ。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{x}$ の積分が対数になる — この事実から、素数の分布が見えてくる。

素数定理という、数論の金字塔がある。

「$x$ 以下の素数の個数 $\pi (x)$ は、$\frac{x}{\log x}$ に近い」

$$\pi (x)\approx \frac{x}{\log x}$$

確かめよう。

• $x=100$: 実際の素数は $25$ 個。$\frac{100}{\log 100}=\frac{100}{4.6}\approx 21.7$
• $x=10^6$: 実際は $78498$ 個。$\frac{10^6}{\log 10^6}\approx 72382$

そこそこ合っている。

もっと精度の高い近似は、積分で書かれる。

$$\pi (x)\approx \mathrm{Li}(x)={\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$$

対数積分と呼ばれる。

• $x=10^6$: $\mathrm{Li}(10^6)\approx 78628$(実際は $78498$ — 誤差 $0.17\%$)

驚くべき精度だ。

なぜ、素数の分布に $\log$ が現れるのか。

直感的にはこうだ。

「$x$ の近くの数が素数である確率は、およそ $\frac{1}{\log x}$」

$x$ が大きくなるほど、素数はまばらになる。 その"まばらさ"の度合いが、$\log x$ で測られる。

だから、$2$ から $x$ まで、$\frac{1}{\log t}$ を"足し上げれば"(積分すれば)、素数の個数の見積もりになる。

$${\int }_2^x\frac{dt}{\log t}$$

素数という、離散的で気まぐれに見える対象。

その分布が、連続的な積分で、これほど正確に記述される。

これが、$19$ 世紀の数学者たちを驚愕させた事実である。

そして、この近似の"誤差"を精密に評価する問題が — リーマン予想だ。

$1859$ 年にリーマンが提出したこの予想は、$160$ 年以上、未解決のまま。 懸賞金 $100$ 万ドルがかかっている。

「$\pi (x)$ と $\mathrm{Li}(x)$ の誤差は、$\sqrt{x}\log x$ 程度に収まるか?」

これが証明できれば、素数の分布が完全に理解できる。

${\int }_1^e\frac{dx}{x}=1$ という、教科書の定積分。

その $\frac{1}{x}$ と $\log$ の関係が、素数という数学最古の謎の、いちばん深いところまで通じている。

基本公式は、決して"基本"では終わらない。

別解

この定積分は、$e$ の"定義"そのものである。

$e$ とは何か。 いくつかの答え方がある。

• ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ の極限
• 微分しても変わらない指数関数の底
• $1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots$ の和

そして、もう $1$ つ。

$$\boxed{{\int }_1^e\frac{1}{x}dx=1\text{となる数}}$$

「双曲線 $y=\frac{1}{x}$ の下の面積が、ちょうど $1$ になるところ」

それが $e$ だ。

この定義が、いちばん幾何的で分かりやすい。

確かめよう。上端をいろいろ変えて、面積を測ってみる。

$${\int }_1^2\frac{1}{x}dx=\log 2\approx 0.693(\text{まだ }1\text{ に足りない})$$

$${\int }_1^{2.7}\frac{1}{x}dx=\log 2.7\approx 0.993(\text{惜しい})$$

$${\int }_1^{2.8}\frac{1}{x}dx=\log 2.8\approx 1.030(\text{行き過ぎた})$$

面積が $1$ になるのは、$2.7$ と $2.8$ の間。

その正確な値が

$$e=2.718281828\dots$$

面積を測るだけで、$e$ が現れる。

なぜ、これが自然な定義なのか。

歴史的に、対数はこの面積として発見された。

$17$ 世紀の数学者たちは、$y=\frac{1}{x}$ の下の面積を調べていて、それが不思議な性質をもつことに気づいた。

$$A(ab)=A(a)+A(b)$$

「掛け算が、足し算になる」 — これは対数の性質だ。

面積を測っていたら、対数が出てきてしまった。

そして、その対数の"底"が何かを調べると、$2.718\dots$ という謎の数が現れた。

この数に $e$ という名前をつけたのが、オイラーである。

$4$ つの定義が、すべて同じ数を指す。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k!}=(\text{微分不変な底})=\left({\int }_1^e\frac{dx}{x}=1\text{ となる数}\right)$$

極限、級数、微分、積分 — 数学の $4$ つの入り口から入って、同じ $1$ つの部屋にたどり着く。

これほど多面的な数は、$\pi$ と $e$ のほかにない。

そういう数だけが、「自然」と呼ばれる資格をもつ。

この問題の答えが $1$ という、あまりにきれいな数になるのは、$e$ がそう定義されているからなのだ。