不定積分(累乗)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 積分とは、微分の逆をたどることだ。

問いを、こう読み替える。

「微分すると $x^3$ になる関数は、何か?」

微分すると指数が $1$ 減る。 だから、もとの指数は $1$ 大きい $4$ のはずだ。

$x^4$ を微分してみる。

$$(x^4{)}^{\prime }=4x^3$$

惜しい。$4$ が余分だ。

なら、$4$ で割っておけばいい。

$${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\prime }=\frac{4x^3}{4}=x^3✓$$

これが公式の正体である。

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

「指数を $1$ 増やして、その数で割る」

そして、$+C$ を忘れない。 定数は微分すると消えるので、$x^4/4$ に何を足しても、微分すれば同じ $x^3$ になる。

答えは $1$ つではなく、無限にある。 その全部をまとめて表すのが $+C$ だ。

指数を $1$ 増やして、その数で割る。

$$\int x^{3}dx=\frac{x^{3+1}}{3+1}+C=\frac{x^4}{4}+C$$

まとめ:累乗の積分は「指数 $+1$、その数で割る」。微分($n{x}^{n-1}$)の逆。$C$ を付けるのを忘れずに。微分して戻るか確かめると安心だ。

発展 — 一歩先へ。 「微分の逆が積分」— この当たり前に見える関係は、実はとてつもなく深い。

それを、微積分学の基本定理という。

$2$ つの、まったく違う概念を結びつけているからだ。

• 微分 — 接線の傾き。局所的な、瞬間の変化率
• 積分 — 曲線の下の面積。大域的な、全体の積み上げ

傾きと面積。 一見、何の関係もない。

それが「逆の操作」だと言うのだから、驚くべき主張である。

なぜ、そうなるのか。

面積を、変数の関数と見る。

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt(\text{a から x までの面積})$$

$x$ を、ほんの少し($h$ だけ)増やす。 面積はどれだけ増えるか。

増えた部分は、幅 $h$、高さ約 $f(x)$ の細い長方形だ。

$$F(x+h)-F(x)\approx f(x)\cdot h$$

両辺を $h$ で割る。

$$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\approx f(x)$$

$h\to 0$ とすると、左辺は $F^{\prime }(x)$。

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(x)}$$

「面積を求める関数を微分すると、もとの関数に戻る」

これが基本定理だ。

証明の核心は、たった $1$ 行 — 「面積の増加分 $\approx$ 高さ $\times$ 幅」である。

この定理が、なぜ革命的だったのか。

それまで、面積の計算は「無限個の長方形を足し上げる」という、途方もない作業だった。 アルキメデスが放物線の面積を求めるのに、何十行もの議論を要した。

基本定理は、それを「原始関数を見つけて、端点で引き算する」に変えた。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

無限の足し算が、$2$ つの引き算になった。

$17$ 世紀、ニュートンとライプニッツが独立に発見したこの定理が、微積分を「計算可能な技術」に変えた。

そして、そこから物理学が生まれ、工学が生まれ、現代文明が生まれた。

「微分の逆が積分」

この $1$ 行の裏に、人類の知の $1$ つの頂点がある。

別解

「積分 $=$ 面積」の側から、係数 $\frac{1}{4}$ の意味を確かめる。

$0$ から $1$ まで、$y=x^3$ の下の面積を求めよう。

公式を使えば

$${\int }_0^1{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=\frac{1}{4}$$

この $\frac{1}{4}$ を、面積の定義(細長い長方形の足し上げ)から出せるだろうか。

区間 $[0,1]$ を $n$ 等分する。 $k$ 番目の長方形は

• 横幅: $\frac{1}{n}$
• 高さ: ${\left(\frac{k}{n}\right)}^3$

全部足す。

$$S_n=\sum _{k=1}^n{\left(\frac{k}{n}\right)}^3\cdot \frac{1}{n}=\frac{1}{n^4}\sum _{k=1}^n{k}^3$$

ここで、$\Sigma k^3$ の公式(数列で学んだ)を使う。

$$\sum _{k=1}^n{k}^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$$

代入する。

$$S_n=\frac{1}{n^4}\cdot \frac{n^2(n+1{)}^2}{4}=\frac{(n+1{)}^2}{4n^2}=\frac{1}{4}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2$$

$n\to \infty$ とすると

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{4}(1+0{)}^2=\frac{1}{4}$$

面積は $\frac{1}{4}$ ✓ 公式と一致した。

数値でも確かめよう。

$$S_{100}=\frac{1}{4}(1.01{)}^2=0.2550,S_{10000}=0.2500\dots$$

確かに $\frac{1}{4}$ に近づいている。

この計算が示すこと。

積分の公式 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ の分母 $n+1$ は、$\Sigma k^n$ の公式の最高次の係数から来ている。

$$\sum k=\frac{n^2}{2}+\cdots ,\sum k^2=\frac{n^3}{3}+\cdots ,\sum k^3=\frac{n^4}{4}+\cdots$$

$\Sigma k^n\approx \frac{n^{p+1}}{p+1}$ — この $\frac{1}{p+1}$ が、そのまま積分公式の $\frac{1}{n+1}$ になる。

「和の公式」と「積分の公式」は、同じ構造をしていたのだ。

歴史的には、こちらが先だった。

アルキメデスは、$2000$ 年前に「放物線と直線が囲む面積」を、この方法(取り尽くし法)で求めている。 微分も積分もない時代に、無限に細かい長方形を足し上げて。

微積分の発明($17$ 世紀)は、この面倒な計算を「微分の逆」という一手に置き換えた。

$\Sigma$ の公式を思い出して極限をとる、という数ページの計算が、$\frac{x^4}{4}$ という $1$ 行に凝縮された。

それが「微積分学の基本定理」の威力である。