部分分数分解による定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{x^2+3x+2}$ は、分母を因数分解すると $(x+1)(x+2)$。積の逆数は部分分数に分けられる。

$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$(差の形)。

分けてしまえば、各項は $\frac{1}{x+a}$ 型で対数に積分できる。

① 部分分数分解。 $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。 $$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}.$$ ② 積分。 $${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx=[\log (x+1)-\log (x+2){]}_0^1.$$ ③ 代入。 $$=(\log 2-\log 3)-(\log 1-\log 2)=2\log 2-\log 3=\log \frac{4}{3}.$$

まとめ $(x+1)(x+2)$ に分け $\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$、積分して $2\log 2-\log 3=\log \frac{4}{3}$。定積分(部分分数)と対数の融合。

発展 — 一歩先へ。 「隠して代入」(ヘヴィサイドの被覆法)は、分母が相異なる1次式の積ならいつでも使える。$\frac{P(x)}{(x-a_1)\cdots (x-a_n)}$ の $\frac{1}{x-a_k}$ の係数は、$(x-a_k)$ を隠して $x=a_k$ を代入するだけ。部分分数は積分だけでなく、数列の部分和(望遠鏡)やラプラス変換でも土台になる。

別解

別解 — 部分分数の係数を「隠す」で速く出す(苦手な人向け)。 $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$ の $A,B$ は、ヘヴィサイドの「隠す」技で暗算できる。

$A$ を求めるには、$\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ の $(x+1)$ を指で隠し、残り $\frac{1}{x+2}$ に「$x+1=0$ すなわち $x=-1$」を代入する。$\frac{1}{-1+2}=1$、だから $A=1$。

$B$ も同様に $(x+2)$ を隠して $x=-2$ を入れ、$\frac{1}{-2+1}=-1$、$B=-1$。よって

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}.$$

積分すると $[\log (x+1)-\log (x+2){]}_0^1=(\log 2-\log 3)-(0-\log 2)=2\log 2-\log 3=\log \frac{4}{3}$。

分母を払って係数比較する(本解)代わりに、「隠して代入」で $A,B$ が即座に出る。分母が1次式の積のときは、この方法が最速だ。