不定積分(1/x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{x}=x^{-1}$ だから、累乗の公式を使いたくなる。

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

$n=-1$ を入れてみよう。

$$\frac{x^0}{0}?$$

分母が $0$。 使えない。

累乗の公式には、たった $1$ か所だけ穴がある。それが $n=-1$ だ。

では、どうするか。

「微分すると $\frac{1}{x}$ になる関数」を思い出す。

$$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

対数だ。

ただし、$\log x$ は $x>0$ でしか定義されない。 $x<0$ でも $\frac{1}{x}$ は意味をもつので、そちらもカバーしたい。

そこで、絶対値をつける。

$$\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$$

「$\frac{1}{x}$ の積分だけは例外で、対数になる。しかも絶対値つき。」

累乗の公式 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ は $n=-1$ で分母が $0$ になり使えない。$\frac{1}{x}$ の積分は

$$\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$$

まとめ:$\frac{1}{x}$ の積分だけは $\log |x|$ という特別な結果($(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ の逆)。$x<0$ でも定義できるように絶対値を付けるのが約束。累乗の公式の唯一の例外だ。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{1}{x}$ の積分だけが、なぜ特別なのか。面積の側から見ると、その理由が見える。

双曲線 $y=\frac{1}{x}$ の下の面積を、$1$ から $x$ まで測る。

$$A(x)={\int }_1^x\frac{1}{t}dt$$

この面積関数が、驚くべき性質をもつ。

$$A(ab)=A(a)+A(b)$$

「掛け算が、足し算になる」

なぜ、そうなるのか。

$$A(ab)={\int }_1^{ab}\frac{1}{t}dt={\int }_1^a\frac{1}{t}dt+{\int }_a^{ab}\frac{1}{t}dt$$

第 $2$ 項で、$t=as$ と置換する($dt=ads$、$t:a\to ab$ のとき $s:1\to b$)。

$${\int }_a^{ab}\frac{1}{t}dt={\int }_1^b\frac{1}{as}\cdot ads={\int }_1^b\frac{1}{s}ds=A(b)$$

$a$ が、きれいに約分されて消えた!

$$A(ab)=A(a)+A(b)■$$

この「掛け算 → 足し算」こそ、対数の定義的な性質である。

$$\log (ab)=\log a+\log b$$

つまり、$\frac{1}{x}$ の下の面積は、対数そのものだったのだ。

なぜ、$\frac{1}{x}$ でだけ、こんなことが起こるのか。

$\frac{1}{x}$ が、スケール不変だからだ。

区間 $[a,ab]$ を、区間 $[1,b]$ に縮めると、幅は $\frac{1}{a}$ 倍になる。 同時に、高さ $\frac{1}{t}$ は $a$ 倍になる。

面積($=$ 幅 $\times$ 高さ)は、変わらない。

$$\frac{1}{a}\times a=1$$

「拡大しても、面積が変わらない」 — この性質をもつのは、$y=\frac{1}{x}$ ただ $1$ つだ。

$y=\frac{1}{x^2}$ で試すと、幅 $\frac{1}{a}$ 倍、高さ $a^2$ 倍で、面積は $a$ 倍に変わってしまう。

このスケール不変性が、「掛け算 → 足し算」を生み、対数を生む。

そして、$n=-1$ が累乗公式の"穴"である理由も、これだ。

$$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

$n\ne -1$ なら、答えは $x$ のべき。 べき関数は「$x$ を $a$ 倍すると、値が $a^{n+1}$ 倍」というスケール則をもつ。

だが $n=-1$ のときだけ、面積がスケール不変になる。 べき関数では表せない。

「拡大しても変わらないもの」を測るには、掛け算を足し算に変える関数 — つまり対数 — が必要なのだ。

$\frac{1}{x}$ の積分が対数になるのは、偶然ではない。必然である。

別解

なぜ絶対値が要るのか。$x<0$ の場合を、実際に計算して確かめる。

「絶対値をつけろ」と言われても、納得しにくい。 自分の手で確かめよう。

$x<0$ のとき、$\log x$ は定義されない($\log$ の中身は正でなければならない)。

では、$x<0$ のとき、微分すると $\frac{1}{x}$ になる関数は何か。

$\log (-x)$ を試してみよう。 $x<0$ なら $-x>0$ なので、これは定義できる。

合成関数の微分で計算する。

$${\left\{\log (-x)\right\}}^{\prime }=\frac{1}{-x}\times (-1)=\frac{1}{x}$$

($\log u$ の微分は $\frac{u^{\prime }}{u}$。ここで $u=-x$、$u^{\prime }=-1$。)

確かに $\frac{1}{x}$ になった!

まとめると、こうだ。

$$x>0\text{のとき}:\int \frac{1}{x}dx=\log x+C$$ $$x<0\text{のとき}:\int \frac{1}{x}dx=\log (-x)+C$$

$2$ つの場合を、$1$ つの式にまとめたい。

そこで気づく。

$$x>0⟹|x|=x$$ $$x<0⟹|x|=-x$$

どちらの場合も、$\log |x|$ と書ける!

$$\int \frac{1}{x}dx=\log |x|+C$$

絶対値は、$2$ つの場合を $1$ 行にまとめる工夫だったのだ。

数値で確かめよう。 $x=-2$ での傾きは?

$$\frac{d}{dx}\log |x|{|}_{x=-2}=\frac{1}{-2}=-0.5$$

$\log |-2|=\log 2\approx 0.693$、$\log |-2.01|=\log 2.01\approx 0.698$。

$$\frac{0.698-0.693}{-2.01-(-2)}=\frac{0.005}{-0.01}=-0.5✓$$

確かに、$x<0$ でも導関数は $\frac{1}{x}$ になっている。

注意すべきこと。

$\log |x|$ のグラフは、$y$ 軸に関して対称ではない。

むしろ、$x>0$ の部分と $x<0$ の部分は、$y$ 軸を境に鏡映しになっている。

そして、$x=0$ をまたいで積分してはいけない。

$${\int }_{-1}^1\frac{1}{x}dx?$$

$x=0$ で被積分関数が発散する。 この積分は、そもそも定義されない(発散する)。

「絶対値をつけたから、負でも大丈夫」ではない。

$x=0$ という特異点を、またぐことはできないのだ。 積分区間は、必ず $x>0$ か $x<0$ のどちらかに収まっていなければならない。

絶対値は便利だが、$0$ の壁は越えられない。 そこを混同しないことが大切だ。