定積分(x sin x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\int }_0^{\pi }x\sin xdx$ は部分積分で攻める。

$f=x$、$g^{\prime }=\sin x$($g=-\cos x$)とおく。$x$ を微分で消し、残った $\int \cos x$ を計算する。

部分積分の定積分版だ。端点の代入まで含めて仕上げる。

① $f$、$g^{\prime }$ を決める。 $f=x$($f^{\prime }=1$)、$g^{\prime }=\sin x$($g=-\cos x$)。

② 公式にあてはめる。

$${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=[x(-\cos x){]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }1\cdot (-\cos x)dx$$

③ 第 $1$ 項を計算する。 $\cos \pi =-1$、$\cos 0=1$。

$$[-x\cos x{]}_0^{\pi }=-\pi \cos \pi -(-0\cdot \cos 0)=-\pi (-1)=\pi$$

④ 第 $2$ 項を計算する。 ${\int }_0^{\pi }(-\cos x)dx=[-\sin x{]}_0^{\pi }=-\sin \pi +\sin 0=0$。

$${\int }_0^{\pi }x\sin xdx=\pi -0=\pi$$

まとめ:$x\sin x$ の定積分は部分積分。$g=-\cos x$ の符号に注意。第 $1$ 項 $[-x\cos x]$ が $\pi$、第 $2$ 項の $\int \cos x$ は端点で消えて $0$。答えは $\pi$ ときれいにまとまる。

発展 — 一歩先へ。 ${\int }_0^{\pi }x\sin (nx)dx$ を一般の整数 $n$ で計算すると、$\frac{(-1{)}^{n+1}\pi }{n}$ になる。$n=1$ のとき $\pi$ で、いまの問題はその特別な場合だ。

この値の列 $\pi ,-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{3},\dots$ は、区間 $[0,\pi ]$ 上の関数 $y=x$ を $\sin (nx)$ の重ね合わせで表すときの係数(フーリエ正弦係数)に対応する。まっすぐな直線が、無限個の波の和で書けるという事実の裏づけになっている。

部分積分や対称性で得た $1$ つの定積分が、じつは「関数を波に分解する」大きな理論の入り口になっている。積分は、関数にひそむ成分を取り出す道具でもある。

別解

別解 — 折り返しの対称性で $x$ を消す(得意な人向けの視点)。 部分積分を使わず、区間 $[0,\pi ]$ の折り返し $x\to \pi -x$ だけで求まる。

$I={\int }_0^{\pi }x\sin xdx$ とおく。$x$ を $\pi -x$ に置きかえると、$\sin (\pi -x)=\sin x$ は変わらず、$x$ の部分だけが $\pi -x$ になる。積分の値は変わらないので

$$I={\int }_0^{\pi }(\pi -x)\sin xdx.$$

もとの $I$ とこの式を足すと、$x$ と $\pi -x$ の $x$ が打ち消し合う。

$$2I={\int }_0^{\pi }\{x+(\pi -x)\}\sin xdx={\int }_0^{\pi }\pi \sin xdx=\pi [-\cos x{]}_0^{\pi }=\pi (1+1)=2\pi .$$

よって $I=\pi$。

部分積分する本解と同じ答え。じゃまな係数 $x$ は、折り返した相方 $\pi -x$ と足すと定数 $\pi$ に化ける。あとは $\sin x$ の積分だけ。多項式の重みを、積分を実行せずに対称性で消せるのがこの手のうまみだ。