部分積分(循環型)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e^x\cos x$ は、部分積分しても $e^x\sin x$、$e^x\cos x$ と「指数 $\times$ 三角」の形が出続ける。堂々巡りに見える。

だが、$2$ 回部分積分すると、もとの積分 $I$ そのものが右辺に現れる(循環)。

そこで $I=(\text{式})-I$ という方程式が立つ。

これを $I$ について解けば原始関数が出る、という「循環型」の手法で進む、と見通す。

① 部分積分を $2$ 回。 不定積分 $I=\int e^x\cos xdx$ とおく。$e^x$ を積分側にして

$$I=e^x\cos x-\int e^x(-\sin x)dx=e^x\cos x+\int e^x\sin xdx$$

もう $1$ 回、$\int e^x\sin xdx=e^x\sin x-\int e^x\cos xdx=e^x\sin x-I$ を代入すると

$$I=e^x\cos x+e^x\sin x-I$$

② $I$ について解く。 $2I=e^x(\sin x+\cos x)$、よって

$$I=\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$$

③ 定積分を計算する。 $x=\pi$ で $\sin \pi +\cos \pi =0-1=-1$、$x=0$ で $\sin 0+\cos 0=0+1=1$。

$${\int }_0^{\pi }{e}^x\cos xdx={\left[\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}\right]}_0^{\pi }=\frac{e^{\pi }(-1)}{2}-\frac{1\cdot 1}{2}=-\frac{e^{\pi }+1}{2}$$

まとめ:指数 × 三角の積分は「$2$ 回部分積分して循環 → $I$ の方程式」。$2I=e^x(\sin x+\cos x)$ から原始関数 $\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$。$x=\pi$ で三角の和が $-1$ になり、$-\frac{e^{\pi }+1}{2}$。

発展 — 一歩先へ。 循環の裏には複素数がひそんでいる。$e^x\cos x$ は $e^{(1+i)x}$ の実部で、指数関数はどんな回数微分・積分しても形が崩れない。

そのおかげで $\int e^{(1+i)x}dx=\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}$ と一発で積分でき、実部をとると原始関数 $\frac{e^x(\sin x+\cos x)}{2}$ が出る。分母の $1+i$ が、あの「$2$ で割る」の正体だ。

$\int e^{ax}\cos bxdx$ も $\int e^{ax}\sin bxdx$ も、複素指数 $e^{(a+bi)x}$ ひとつにまとめて処理できる。循環型の部分積分は、複素数を使わずに同じ結果へたどり着く道だ。

別解

別解 — 複素指数にまとめて積分する(得意な人向けの視点)。 $e^x\cos x$ を、複素指数 $e^{(1+i)x}$ の実部とみると、部分積分を回さずに済む。

オイラーの公式から $e^{(1+i)x}=e^x(\cos x+i\sin x)$。その実部が $e^x\cos x$。指数関数の積分は簡単で

$${\int }_0^{\pi }{e}^{(1+i)x}dx={\left[\frac{e^{(1+i)x}}{1+i}\right]}_0^{\pi }=\frac{e^{(1+i)\pi }-1}{1+i}.$$

$e^{(1+i)\pi }=e^{\pi }(\cos \pi +i\sin \pi )=-e^{\pi }$ だから、分子は $-(e^{\pi }+1)$。分母を有理化して

$$\frac{-(e^{\pi }+1)}{1+i}=\frac{-(e^{\pi }+1)(1-i)}{2}.$$

求める積分はこの実部だから、$\frac{-(e^{\pi }+1)}{2}$。

$2$ 回部分積分して循環させる本解と同じ $-\frac{e^{\pi }+1}{2}$。複素指数を使うと「指数 $\times$ 三角」の積分が、ただの指数関数の積分に化ける。$\frac{1}{1+i}$ の実部が、原始関数の $\frac{1}{2}$ の出どころだ。