sin³ の定積分

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ${\sin }^{3}x$ は $\sin$ の奇数乗。

$\sin$ を $1$ つだけ残し、残りを ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ に直す。

すると $t=\cos x$ の置換で $\sin xdx=-dt$ がうまく残る。「奇数乗の三角関数は $1$ つ残して置換」という発想だ。

① $\sin$ を $1$ つ残して変形する。

$${\sin }^{3}x=\sin x\cdot {\sin }^{2}x=\sin x(1-{\cos }^{2}x)$$

② $t=\cos x$ で置換する。 $dt=-\sin xdx$、すなわち $\sin xdx=-dt$。区間は $x=0\to t=1$、$x=\frac{\pi }{2}\to t=0$。

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x(1-{\cos }^{2}x)dx={\int }_1^0(1-t^2)(-dt)={\int }_0^1(1-t^2)dt$$

(区間の上下を入れかえてマイナスを消した。)

③ 計算する。

$$=[t-\frac{t^3}{3}{]}_0^1=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$

まとめ:$\sin$ の奇数乗は「$\sin$ を $1$ つ残す」のが定石。残りを $1-{\cos }^{2}x$ にして $t=\cos x$ で置換すると、$\sin xdx$ が $-dt$ に化ける。多項式 $\int (1-t^2)dt$ になり簡単だ。

発展 — 一歩先へ。 $I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$ を部分積分すると、$I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$ という漸化式が出る。次数を $2$ ずつ下げる関係だ。

出発点は $I_0=\frac{\pi }{2}$ と $I_1=1$。奇数番の $I_1=1,I_3=\frac{2}{3},I_5=\frac{8}{15}$ は、すべて有理数になる。いまの $\frac{2}{3}$ はその $1$ つだ。

一方、偶数番の $I_0=\frac{\pi }{2},I_2=\frac{\pi }{4},I_4=\frac{3\pi }{16}$ には $\pi$ が現れる。奇数乗は有理数、偶数乗は $\pi$ 倍という対照が、この漸化式(ウォリスの公式)の面白いところだ。

別解

別解 — 三倍角の公式で $1$ 次に落とす(得意な人向けの視点)。 置換を使わず、${\sin }^{3}x$ を三角関数の $1$ 次の和に直してから積分できる。

三倍角の公式 $\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$ を ${\sin }^{3}x$ について解くと

$${\sin }^{3}x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}.$$

右辺はどちらも $1$ 次の三角関数だから、そのまま積分できる。

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{3}xdx=\frac{1}{4}{\left[-3\cos x+\frac{1}{3}\cos 3x\right]}_0^{\pi /2}.$$

$x=\frac{\pi }{2}$ では $\cos \frac{\pi }{2}=0$、$\cos \frac{3\pi }{2}=0$。$x=0$ では $\cos 0=1$、$\cos 0=1$。だから

$$=\frac{1}{4}\left\{(0+0)-\left(-3+\frac{1}{3}\right)\right\}=\frac{1}{4}\cdot \frac{8}{3}=\frac{2}{3}.$$

$t=\cos x$ で置換する本解と同じ答え。「奇数乗を三倍角で $1$ 次に落とす」と、置換を経ずに三角関数の直接積分だけで片づく。次数がもっと高いときも、倍角・三倍角を重ねれば同じように下げられる。