部分積分(x eˣ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x$ と $e^x$ の積 — 置換のセット(中身と中身の微分)は見当たらない。積の積分は部分積分の出番だ。

$$\int f{g}^{\prime }dx=fg-\int f^{\prime }gdx$$

役の割り振りが勝負。微分すると簡単になる方($x$ — 微分で $1$ になる)を $f$、積分しても複雑にならない方($e^x$)を $g^{\prime }$ に。すると右辺の残りの積分は $\int 1\cdot e^{x}dx$ — ただの $e^x$ に落ちる。

「$x$ を微分で消す」— 部分積分の狙いはこの一言に尽きる。

① $f$、$g^{\prime }$ を決める。 $x$ は微分すると $1$ で簡単に。$f=x$($f^{\prime }=1$)、$g^{\prime }=e^x$($g=e^x$)。

② 公式にあてはめる。

$$\int x{e}^{x}dx=x\cdot e^x-\int 1\cdot e^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx$$

③ 残りを積分する。

$$=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$$

まとめ:部分積分は「$x$(多項式)× $e^x$」のような積に効く。微分で消えるほう($x$)を $f$、積分しやすいほう($e^x$)を $g^{\prime }$ にするのがコツ。$1$ 回で $x$ が消え、残りの $\int e^x$ が計算できる。

発展 — 一歩先へ。 $x^2{e}^x$ では部分積分を $2$ 回(次数が $1$ ずつ下がる)、$x^n{e}^x$ なら $n$ 回。結果には規則があり、$(x^2-2x+2)e^x$、$(x^3-3x^2+6x-6)e^x$ — 符号が交互で係数は階乗的に育つ。未定係数法ならこの形を一気に決められる。

役の選び方の指針として「対数 → 多項式 → 三角・指数」の順に $f$(微分される側)へ回す、という経験則(LATE の順)がある。対数は微分すると劇的に簡単になり、指数・三角は積分しても姿を保つ — 各関数の「微分耐性」の序列が、部分積分の設計図である。

別解

部分積分を使わず、答えの形を予想して係数を決める方法がある。

$x{e}^x$ の積分は、たぶん「($1$ 次式)$\times e^x$」の形になるはず — 微分しても $e^x$ の世界から出ないからだ。そこで

$$F(x)=(ax+b)e^x$$

とおいて微分する。積の微分で

$$F^{\prime }(x)=a{e}^x+(ax+b)e^x=(ax+a+b)e^x$$

これが $x{e}^x$ に一致してほしいから、係数を比べて $a=1$、$a+b=0$ — つまり $a=1,b=-1$。

$$\int x{e}^{x}dx=(x-1)e^x+C$$

部分積分と同じ答えだ。

この「形を予想 → 微分 → 係数比較」は未定係数法と呼ばれ、$x^2{e}^x$ なら $(a{x}^2+bx+c)e^x$、$e^x\sin x$ なら $e^x(a\sin x+b\cos x)$ — 形の見当がつく積分すべてに使える。部分積分を $2$ 回繰り返すような問題ほど、こちらが速いことも多い。