減衰振動の絶対値の積分(山の面積が等比数列)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 絶対値のついた $\left|\sin x\right|$ は、そのままでは原始関数が書けない。$\pi$ ごとに符号が変わるからだ。

ならば $\pi$ ごとに区切ればよい。各区間の中では $\left|\sin x\right|$ はただの $\pm \sin x$ で、山ひとつぶんの積分になる。

そこで平行移動を考える。$k$ 番目の山を左端まで引き戻すと、$e^{-x}$ から $e^{-(k-1)\pi }$ という定数がくくり出せる。$\sin$ のほうは周期 $\pi$(絶対値をとれば)でまったく同じ形に戻るからだ。

つまり、山の面積は公比 $e^{-\pi }$ の等比数列になる。積分の問題が、等比数列の和の問題に化けるのだ。

① (1) 1つ目の山の面積。 上の原始関数を使う(${\left\{-\frac{e^{-x}(\sin x+\cos x)}{2}\right\}}^{\prime }=e^{-x}\sin x$ は微分すれば確かめられる)。

$$A={\left[-\frac{e^{-x}(\sin x+\cos x)}{2}\right]}_0^{\pi }=-\frac{e^{-\pi }(0-1)}{2}-\left(-\frac{1\cdot (0+1)}{2}\right)=\frac{e^{-\pi }}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+e^{-\pi }}{2}$$

② (2) $k$ 番目の山を左端へ移す。 $x=u+(k-1)\pi$ とおくと $dx=du$ で、$x:(k-1)\pi \to k\pi$ は $u:0\to \pi$ に対応する。

$\sin$ は $\pi$ ずらすと符号だけが反転するから、絶対値をとれば元に戻る。$0\le u\le \pi$ では

$$\left|\sin x\right|=\left|\sin \left(u+(k-1)\pi \right)\right|=\left|\sin u\right|=\sin u$$

また $e^{-x}=e^{-u}\cdot e^{-(k-1)\pi }$ で、後ろは定数である。よって

$${\int }_{(k-1)\pi }^{k\pi }{e}^{-x}\left|\sin x\right|dx=e^{-(k-1)\pi }{\int }_0^{\pi }{e}^{-u}\sin udu=e^{-(k-1)\pi }A$$

山の面積は、1つ進むごとに $e^{-\pi }$ 倍になる。

③ (3) 等比数列の和にする。 $S_n$ は $n$ 個の山の面積の和だから

$$S_n=\sum _{k=1}^n{e}^{-(k-1)\pi }A=A\cdot \frac{1-{\left(e^{-\pi }\right)}^n}{1-e^{-\pi }}=\frac{1+e^{-\pi }}{2}\cdot \frac{1-e^{-n\pi }}{1-e^{-\pi }}$$

初項 $A$、公比 $e^{-\pi }$、項数 $n$ の等比数列の和である($0<e^{-\pi }<1$ なので公比は $1$ ではない)。

$n\to \infty$ のとき $e^{-n\pi }\to 0$ だから

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{1+e^{-\pi }}{2\left(1-e^{-\pi }\right)}=\frac{e^{\pi }+1}{2\left(e^{\pi }-1\right)}$$

最後は分母・分子に $e^{\pi }$ を掛けて整理した。

まとめ: 周期的な絶対値は「1周期ぶんを計算して、あとは等比数列」。積分・数列・極限が1本の線でつながる典型である。

発展 — 一歩先へ。 各山の面積が公比 $e^{-\pi }\approx 0.0432$ の等比数列になる、という事実は「減衰振動が一定の割合でエネルギーを失う」ことの数学的な表現である。

ばねにおもりを付けて水中で揺らすと、振れ幅は指数関数的に小さくなる。1回の振動で振幅が何倍になるか — その比の対数を対数減衰率と呼び、減衰の強さを測る量として使う。本問の $e^{-\pi }$ がまさにそれだ。無限に振動しても総面積が有限にとどまるのは、公比が $1$ より小さいからである。

別解

原始関数を1つ用意し、端点だけを追う(機械的なルート)。 平行移動を思いつかなくても、符号を丁寧に処理すれば同じ場所に着く。

区間 $\left[(k-1)\pi ,k\pi \right]$ では $\sin x$ の符号は一定で、$\left|\sin x\right|=(-1{)}^{k-1}\sin x$ である($k=1$ なら $\sin x\ge 0$、$k=2$ なら $\sin x\le 0$、と交互になる)。よって

$$S_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k-1}{\int }_{(k-1)\pi }^{k\pi }{e}^{-x}\sin xdx$$

原始関数 $F(x)=-\frac{e^{-x}(\sin x+\cos x)}{2}$ を使う。$\sin k\pi =0$、$\cos k\pi =(-1{)}^k$ だから

$$F(k\pi )=-\frac{e^{-k\pi }\cdot (-1{)}^k}{2}=\frac{(-1{)}^{k-1}{e}^{-k\pi }}{2}$$

したがって

$${\int }_{(k-1)\pi }^{k\pi }{e}^{-x}\sin xdx=F(k\pi )-F\left((k-1)\pi \right)=\frac{(-1{)}^{k-1}}{2}\left(e^{-k\pi }+e^{-(k-1)\pi }\right)$$

($F((k-1)\pi )=\frac{(-1{)}^{k-2}{e}^{-(k-1)\pi }}{2}=\frac{(-1{)}^k{e}^{-(k-1)\pi }}{2}$ を引くと、符号が同じ向きにそろう。)

これに $(-1{)}^{k-1}$ を掛けると符号が2乗になって消え

$$S_n=\sum _{k=1}^n\frac{e^{-k\pi }+e^{-(k-1)\pi }}{2}=\frac{1+e^{-\pi }}{2}\sum _{k=1}^n{e}^{-(k-1)\pi }$$

最後は $e^{-k\pi }+e^{-(k-1)\pi }=e^{-(k-1)\pi }\left(e^{-\pi }+1\right)$ とくくった。ここで本解と同じ等比数列に合流する。

発想の飛躍がなくても、原始関数と端点の値を正確に追えば必ずたどり着く。うまい変形が見えないときの、確実な逃げ道である。