定積分(1/(1+x²))

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{1+x^2}$ — 分子に分母の微分($2x$)はいないから $\log$ 型ではない。この形の専用置換が

$$x=\tan \theta$$

だ。ねらいは恒等式 $1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$。分母がこれで $\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ になり、$dx=\frac{d\theta }{{\cos }^2\theta }$ とぴったり打ち消し合って、被積分関数がただの $1$ に化ける。

定積分では区間も翻訳する。$x:0\to 1$ は $\theta :0\to \frac{\pi }{4}$($\tan \frac{\pi }{4}=1$)。答えはその区間幅 $\frac{\pi }{4}$ だ。

① 置換する。 $x=\tan \theta$ とおくと $dx=\frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta$。また $1+x^2=1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$。

② 区間を変える。 $x=0\to \theta =0$、$x=1\to \tan \theta =1\to \theta =\frac{\pi }{4}$。

③ 被積分関数を書きかえる。

$${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{\frac{1}{{\cos }^2\theta }}\cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}1d\theta$$

④ 計算する。

$$=[\theta {]}_0^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:$\frac{1}{1+x^2}$ は $x=\tan \theta$ で置換すると、$1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ と $dx$ の $\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ が打ち消し合って被積分関数が $1$ になる。定積分では区間も $\theta$ に変えるのを忘れずに。答えは $\frac{\pi }{4}$。

発展 — 一歩先へ。 上端を $1$ から $\infty$ に伸ばすと $\theta$ は $\frac{\pi }{2}$ まで — ${\int }_0^{\infty }\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi }{2}$。無限に広がる領域の面積が有限、しかも円周率 — 広義積分(大学)の入り口で最初に出会う美しい例だ。

また $\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-\cdots$(等比級数)を項別に積分すると $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ — ライプニッツの円周率公式が生まれる。今回の $1$ 問は、$\pi$ を計算する古典的方法の心臓部でもある。

別解

なぜ「$\tan$」なのか — 逆関数の微分から種明かしすると、この置換が必然に見えてくる。

$y=\tan x$ の逆関数(値から角を返す関数)を考える。逆関数の微分は「もとの微分の逆数」だから、$(\tan x{)}^{\prime }=1+{\tan }^{2}x$ を使って

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+{\tan }^2(\text{角})}=\frac{1}{1+x^2}$$

— つまり $\frac{1}{1+x^2}$ の原始関数は「$\tan$ の逆関数(角を返す関数)」そのものだ。

だから定積分は角の差になる。

$${\int }_0^1\frac{dx}{1+x^2}=(\tan \text{が}1\text{になる角})-(\tan \text{が}0\text{になる角})=\frac{\pi }{4}-0=\frac{\pi }{4}$$

「多項式の積分から円周率が出てくる」不思議の正体は、$\tan$ を通じて分数関数と角度が裏でつながっていること。$x=\tan \theta$ の置換は、この隠れた対応を明示的にたどる手続きである。