部分積分(対数関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\log x$ をそのまま積分する公式はない。そこで部分積分に持ち込む。

$\log x=1\cdot \log x$ とみて、$1$ を「積分する側」($\to x$)、$\log x$ を「微分する側」($\to \frac{1}{x}$)にする。

すると残る積分が $\int x\cdot \frac{1}{x}dx=\int 1dx$ という簡単な形に化ける。

$\log$ は微分すると簡単になるので、微分する側に置くのが定石、と見通す。

① 部分積分する。 $f^{\prime }=1$($f=x$)、$g=\log x$($g^{\prime }=\frac{1}{x}$)とすると

$$\int \log xdx=x\log x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\log x-\int 1dx=x\log x-x$$

② 定積分を計算する。

$${\int }_1^e\log xdx=[x\log x-x{]}_1^e=(e\cdot 1-e)-(1\cdot 0-1)=0-(-1)=1$$

まとめ:$\log x$ の積分は「$1\cdot \log x$ とみて部分積分」。$1$ を積分して $x$、$\log x$ を微分して $\frac{1}{x}$、すると $x\cdot \frac{1}{x}=1$ の積分になる。原始関数は $x\log x-x$。$\log e=1$、$\log 1=0$ の代入に注意。

発展 — 一歩先へ。 「$1\cdot \log x$ とみて部分積分」の手は、微分すると簡単になる関数すべてに効く。$\arctan x$ や $\arcsin x$ の積分も、同じく $1$ を掛けて部分積分すれば原始関数が出る。

部分積分そのものは、積の微分 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ を移項して積分した式。だから「積の微分の逆回し」だ。

$\int \log xdx=x\log x-x$ はよく使う原始関数。定積分 ${\int }_1^e\log xdx=1$ は、曲線 $y=\log x$ と $x$ 軸・直線 $x=e$ で囲む面積でもある。式の裏に図がある。

別解

別解 — 原始関数を予想して微分で確かめる(得意な人向けの視点)。 部分積分の組み立てを思い出せなくても、$\log x$ の原始関数を予想して検算できる。

$\log x$ を含む式で微分すると $\log x$ が出そうなのは $x\log x$。ただし微分すると余分が出る。

$$\frac{d}{dx}(x\log x)=\log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1.$$

余分な $+1$ を消すために $-x$ を足す。$\frac{d}{dx}(x\log x-x)=\log x+1-1=\log x$。ぴたり一致。

だから原始関数は $x\log x-x$。代入して

$${\int }_1^e\log xdx=[x\log x-x{]}_1^e=(e-e)-(0-1)=1.$$

部分積分で組み立てる本解と同じ。「$x\log x$ を微分すると余分な $1$ が出る、それを $-x$ で打ち消す」と見れば、原始関数 $x\log x-x$ の形が腑に落ちる。$\log e=1$、$\log 1=0$ の代入だけ注意。