分数関数の積分(2次分母)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{2x+3}{x^2+1}$ の分子を $2$ つに分ける。

「分母の微分 $2x$」の部分と「定数 $3$」の部分に分解する。前者は $\log$、後者は $\arctan$ になる。

分子を分母の微分の部分と残りに振り分ける、という発想が核だ。

① 分子を $2$ つに分ける。 分母 $x^2+1$ の微分は $2x$。分子の $2x$ はちょうどこれ。

$$\frac{2x+3}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}+\frac{3}{x^2+1}$$

② それぞれ積分する。

• $\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\log (x^2+1)$($\frac{g^{\prime }}{g}$ 型)。
• $\int \frac{3}{x^2+1}dx=3\arctan x$($x=\tan \theta$ の置換で得られる逆正接)。

③ 合わせる。

$$\int \frac{2x+3}{x^2+1}dx=\log (x^2+1)+3\arctan x+C$$

まとめ:$\frac{2x+3}{x^2+1}$ は「分母の微分 $2x$ の部分」と「定数 $3$ の部分」に分けるのが急所。前者は $\log$($\frac{g^{\prime }}{g}$ 型)、後者は $\arctan$($\frac{1}{x^2+1}$ 型)。$2$ つの基本形の組み合わせだ。

発展 — 一歩先へ。 一般に $\int \frac{px+q}{x^2+a^2}dx=\frac{p}{2}\log (x^2+a^2)+\frac{q}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$。分子の $x$ の係数が対数を、定数が逆正接を生む、という役割分担はいつも同じだ。

もっと言えば、分母が $2$ 次式で実数の範囲では因数分解できない($x^2+1$ のような)分数は、平方完成すれば必ずこの形になり、積分は「対数 $+$ 逆正接」で書ける。分母が $1$ 次式の積に分かれる場合は、対数だけで済む。

有理関数(多項式どうしの分数)の積分は、多項式の部分と部分分数に分けると、多項式・分数のべき($\frac{1}{(x-1{)}^2}$ のような重なった因数から出る項)・対数・逆正接の組み合わせで書ける。新しく現れる超越的な関数は対数と逆正接の $2$ つだけ——どんなに複雑な分数も行き着く先は限られている、という一般論の入り口になっている。

別解

別解 — $x=\tan \theta$ で一気に置換する(得意な人向けの視点)。 分子を分けず、置換 $x=\tan \theta$ で被積分関数まるごとを簡単な形にできる。

$x=\tan \theta$ とおくと $dx=\frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta$、$x^2+1=1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$。だから分母と $dx$ の $\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ が打ち消し合って

$$\int \frac{2x+3}{x^2+1}dx=\int (2\tan \theta +3)d\theta .$$

これは $2\tan \theta$ と定数 $3$ の積分。$\int \tan \theta d\theta =-\log |\cos \theta |$ だから

$$=-2\log |\cos \theta |+3\theta +C.$$

$\tan \theta =x$ より $\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$、$\theta =\arctan x$。$-2\log |\cos \theta |=\log (1+x^2)$ に直せて

$$\int \frac{2x+3}{x^2+1}dx=\log (1+x^2)+3\arctan x+C.$$

分子を $2$ つに分ける本解と同じ答え。$1$ つの置換 $x=\tan \theta$ で、対数の項($2\tan \theta$ から)と逆正接の項(定数 $3$ から)が同時に出てくる。別々に見えた $2$ つの基本形が、$\theta$ の世界では地続きだと分かる。