数学III / 積分法の計算

不定積分(指数関数)

★ 基礎不定積分

問題

不定積分 $\int e^{2 x} d x$ を求めよ。

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$e$ の累乗の積分は形が変わらない — ただし中身の係数の分だけ調整が要る。微分して元に戻るかで検算すれば安心。

解答・解説

方針

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$ 。 $e^{2 x}$ は微分すると $2 e^{2 x}$ になるので、積分では逆に $\frac{1}{2}$ をかける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「微分すると $e^{2 x}$ になる関数」を探す。

まず、素直に $e^{2 x}$ 自身を微分してみよう。

$(e^{2 x})^{'} = e^{2 x} \times 2 = 2 e^{2 x}$

合成関数だから、内側 $2 x$ の微分 $2$ が余分に出てくる。

$2$ 倍になってしまった。

なら、あらかじめ $\frac{1}{2}$ を掛けておけばいい。

$(\frac{1}{2} e^{2 x})^{'} = \frac{1}{2} \times 2 e^{2 x} = e^{2 x} ✓$

「微分で出てくる係数を、積分では割って打ち消す」

これが、合成関数の積分の基本発想だ。

$\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C$

同じ発想は、 $sin 2 x$ や $(2 x + 1)^{5}$ の積分にも使える。

$\int sin 2 x d x = - \frac{1}{2} cos 2 x + C$

内側が $1$ 次式なら、その係数で割る。 これで一気に処理できる。

公式

\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C

$e^{2 x}$ を微分すると $2 e^{2 x}$ 。積分では逆に $\frac{1}{2}$ をかける。

$\int e^{2 x} d x = \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

まとめ: $e^{a x}$ の積分は「 $\frac{1}{a}$ をかけて $e^{a x}$ 」。微分で $a$ が前に出るぶん、積分では $\frac{1}{a}$ で打ち消す。 $a = 1$ なら $e^{x}$ のまま。 $\frac{1}{2}$ を忘れやすいので注意。

発展 — 一歩先へ。 「 $\frac{1}{a}$ を掛けて補正する」という手は、内側が $1$ 次式のときだけ通用する。

なぜ、 $1$ 次式限定なのか。

内側の微分が定数だからだ。

$u = 2 x ⟹ u^{'} = 2 (定数)$

定数なら、積分の外にくくり出せる。

では、内側が $2$ 次式ならどうなるか。

$\int e^{x^{2}} d x$

$u = x^{2}$ とおくと $d u = 2 x d x$ 。

ところが、被積分関数には $2 x$ という因子がない。

$\int e^{x^{2}} d x = \int e^{u} \cdot \frac{d u}{2 x} = \int e^{u} \cdot \frac{d u}{2 u}$

$u$ が残ってしまい、簡単にならない。

この積分は、初等関数では書けないことが証明されている。

微分は $3$ 秒。積分は永遠に不可能。

「積分できる形」と「できない形」の境目は、驚くほど微妙だ。

$\int 2 x e^{x^{2}} d x = e^{x^{2}} + C (できる)$

$\int e^{x^{2}} d x = ? (できない)$

違いは、 $2 x$ という因子が、あるかないか、それだけ。

その $2 x$ が「 $d u$ の材料」になるかどうかで、運命が分かれる。

同じような例を並べてみよう。

$\int \frac{2 x}{1 + x ^{2}} d x = lo g (1 + x^{2}) + C (できる)$

$\int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctan x + C (できる — 別の技法)$

$\int \frac{sin x}{x} d x = ? (できない)$

$\int \frac{1}{lo g x} d x = ? (できない)$

どれも、見た目は同じくらい単純だ。

それでも、積分できるものと、できないものがある。

リウヴィルの定理( $1835$ 年)が、この境界を厳密に定めた。

「初等関数の原始関数が、初等関数になるとは限らない」

しかも、なるかどうかを判定するアルゴリズムまで存在する(リッシュのアルゴリズム)。数式処理ソフトは、これを使って「初等関数では表せない」と判定している。

微分の世界は、平和だ。 どんな関数も、機械的に微分できる。

積分の世界は、荒野である。 手がかりを探し、置換や部分積分を試し、それでもダメなら「初等関数では書けない」と認めるしかない。

この非対称性こそ、積分が「技術」であり「芸術」でもある理由なのだ。

答

$\frac{1}{2} e^{2 x} + C$

別解

「 $\frac{1}{2}$ を掛けておく」を、置換積分として厳密に書く。

慣れれば暗算でできるが、置換の手順を踏むと、なぜ $\frac{1}{2}$ なのかが完全に見える。

内側を、新しい文字で置く。

$u = 2 x$

両辺を微分する。

$\frac{d u}{d x} = 2 ⟹ d u = 2 d x ⟹ d x = \frac{d u}{2}$

ここが核心だ。 $d x$ を $d u$ に取り替えるとき、 $\frac{1}{2}$ という係数が生まれる。

もとの積分に代入する。

$\int e^{2 x} d x = \int e^{u} \cdot \frac{d u}{2} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

$\frac{1}{2}$ が、積分の外に出た。

あとは、基本の積分だ。

$= \frac{1}{2} e^{u} + C$

最後に、 $u$ を戻す。

$= \frac{1}{2} e^{2 x} + C$

本解と同じ答え ✓

置換積分の何が起きているのか。

$x$ の世界から、 $u$ の世界へ引っ越した。

引っ越すと、"ものさし"が変わる。 $u = 2 x$ なので、 $u$ のものさしは $x$ の $2$ 倍細かい。

同じ幅を測っても、 $u$ の世界では $2$ 倍の数字が出る。 だから、面積(積分)を合わせるには $\frac{1}{2}$ を掛けて補正する必要がある。

$d x = \frac{d u}{2}$

この式が、ものさしの換算率を表している。

cm と mm の換算のようなものだ。 $1$ cm $=$ $10$ mm。同じ長さでも、mm で測れば数字は $10$ 倍。

置換積分は、「積分しやすいものさしに、単位を変換する技術」なのである。

この技術は、もっと難しい積分で真価を発揮する。

$\int 2 x e^{x^{2}} d x$

$u = x^{2}$ とおくと、 $d u = 2 x d x$ 。

$= \int e^{u} d u = e^{u} + C = e^{x^{2}} + C$

「 $2 x d x$ 」というかたまりが、まるごと $d u$ に化けた。 これが置換の醍醐味だ。

「 $d u$ の部分が、被積分関数の中に隠れている」 — それを見つけるのが、置換積分のコツである。

ポイント

$\int e^{a x} d x = \frac{1}{a} e^{a x} + C$ 。
$\frac{1}{a}$ をかけるのを忘れない。

よくある間違い

$\frac{1}{2}$ を掛け忘れて $e^{2 x} + C$ とする。微分すると $2 e^{2 x}$ になってしまい、元に戻らない
$\frac{1}{2}$ ではなく $2$ を掛けて $2 e^{2 x}$ とする。微分で出る係数は、積分では"割る"
$e^{x^{2}}$ の積分も同じ要領でできると考える。内側が $1$ 次式( $a x + b$ )のときだけ、この方法が使える