不定積分(cos)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 前問と対にして覚えるべき積分だ。

「微分すると $\cos x$ になる関数」は?

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$

そのまま、$\sin x$ である。

$$\int \cos xdx=\sin x+C$$

マイナスは、つかない。

$2$ つを並べて、対比しよう。

$$\int \sin xdx=-\cos x+C(\text{マイナスあり})$$ $$\int \cos xdx=\sin x+C(\text{マイナスなし})$$

なぜ、$\sin$ の積分にだけマイナスがつくのか。

微分の側を見れば分かる。 $\cos$ を微分するとマイナスが出る($(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$)。その符号を、積分では打ち消す必要がある。

逆に、$\sin$ を微分してもマイナスは出ない($(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$)。だから積分でも符号はそのまま。

「マイナスが出るのは、$\cos$ を微分するときだけ」 — これが、すべての符号の源である。

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ なので、逆に

$$\int \cos xdx=\sin x+C$$

まとめ:$\cos x$ の積分は $\sin x$(マイナスなし)。$\sin x$ の積分($-\cos x$)とセットで覚える。「$\cos \to \sin$、$\sin \to -\cos$」。マイナスがつくのは $\sin$ のほうだ。

発展 — 一歩先へ。 $\sin$ と $\cos$ の積分には、「直交性」という驚くべき性質がある。

$1$ 周期($0$ から $2\pi$)にわたって、$2$ つの三角関数の積を積分してみよう。

$${\int }_0^{2\pi }\sin x\cos xdx=0$$

$${\int }_0^{2\pi }\sin x\sin 2xdx=0$$

$${\int }_0^{2\pi }\cos x\cos 3xdx=0$$

周波数が違う波どうしの積は、積分すると必ず $0$ になる。

ところが、同じ波どうしなら

$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}xdx=\pi (\ne 0)$$

$0$ ではない値が出る。

この性質を、直交性という。

なぜ「直交」なのか。

ベクトルの内積を思い出そう。

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟺\vec{a}\perp \vec{b}$$

関数どうしの「内積」を、積分で定義する。

$$⟨f,g⟩={\int }_0^{2\pi }f(x)g(x)dx$$

すると、異なる周波数の三角関数は、この内積が $0$ — つまり「直交している」ことになる。

関数を、無限次元空間のベクトルと見る。 その空間で、$\sin x$、$\cos x$、$\sin 2x$、$\cos 2x$、$\dots$ は、互いに直交する基底ベクトルなのだ。

そして、ここからフーリエ級数が生まれる。

「どんな周期関数も、$\sin$ と $\cos$ の重ね合わせで書ける」

$$f(x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)$$

係数 $a_n$、$b_n$ は、どうやって求めるか。

直交性を使う。 両辺に $\cos nx$ を掛けて、$0$ から $2\pi$ まで積分する。

すると、直交性により、$\cos nx$ の項だけが生き残り、他はすべて $0$ になる。

$$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\cos nxdx$$

欲しい成分だけを、"取り出す"ことができる。

これは、ベクトルの成分を内積で取り出すのと、まったく同じ操作だ。

$$a_x=\vec{a}\cdot \overrightarrow{e_x}$$

フーリエ解析は、現代技術の基盤である。

• MP3: 音を周波数成分に分解し、聞こえない成分を捨てて圧縮
• JPEG: 画像を周波数成分に分解し、細かい成分を捨てて圧縮
• 医療のMRI: 信号を周波数分解して、体内の画像を再構成
• 地震波の解析、音声認識、通信

すべて、この直交性が支えている。

そして、その直交性の証明は — $\int \cos xdx=\sin x$ のような、素朴な積分公式の積み重ねなのだ。

基本公式は、決して"基本"にとどまらない。

別解

面積として、$\cos$ の積分を"見る"。

公式を使うだけでなく、定積分の値がグラフのどこを表しているのかを確かめよう。

$0$ から $\frac{\pi }{2}$ まで積分する。

$${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx={\left[\sin x\right]}_0^{\pi /2}=\sin \frac{\pi }{2}-\sin 0=1-0=1$$

答えは、ちょうど $1$。

これは何の面積か。

$\cos$ のグラフで、$x=0$(高さ $1$)から $x=\frac{\pi }{2}$(高さ $0$)まで、なめらかに下がる曲線の下の面積だ。

幅は $\frac{\pi }{2}\approx 1.57$、高さは最大 $1$。

もし三角形なら、面積は $\frac{1}{2}\times 1.57\times 1\approx 0.785$。

もし長方形なら $1.57$。

実際の面積は $1$ — その中間だ。 曲線が、三角形の斜辺より上に膨らんでいるぶん、面積が大きくなっている。

ぴったり $1$ になるのが、美しい。

次に、$1$ 周期分を積分してみよう。

$${\int }_0^{2\pi }\cos xdx={\left[\sin x\right]}_0^{2\pi }=\sin 2\pi -\sin 0=0-0=0$$

答えは $0$!

なぜ $0$ になるのか。

$\cos$ のグラフは、$x$ 軸の上と下を、対称に行き来する。

• $0\sim \frac{\pi }{2}$: 正の面積 $+1$
• $\frac{\pi }{2}\sim \frac{3\pi }{2}$: 負の面積 $-2$
• $\frac{3\pi }{2}\sim 2\pi$: 正の面積 $+1$

合計 $1-2+1=0$。

上と下が、きれいに打ち消し合う。

これは「面積が $0$」ということではない。 実際の面積(絶対値の和)は $4$ だ。

定積分は、$x$ 軸より下を負として数える — この符号つきの面積を、符号つき面積という。

「$1$ 周期の積分が $0$」という事実には、深い意味がある。

交流電流(正弦波)の平均値は $0$ だ。 プラスとマイナスが打ち消し合うから。

だから、交流の「大きさ」を表すには、平均値では役に立たない。

そこで、$2$ 乗してから平均する(実効値)。

$${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}xdx=\frac{\pi }{2}$$

平均は $\frac{\pi /2}{\pi }=\frac{1}{2}$、その平方根が $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$。

家庭のコンセントが「$100$ V」というのは、この実効値だ。 実際の電圧は $\pm 141$ V の間を振動している($100\times \sqrt{2}\approx 141$)。

$\int \cos xdx=\sin x$ という $1$ 行の公式が、電力の計算を支えている。