区分求積法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$ という形は、区分求積法の合図。

幅 $\frac{1}{n}$ の短冊の面積和で、$n\to \infty$ で定積分 ${\int }_0^{1}f(x)dx$ に収束する。

ここでは $f\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{1}{1+(k/n{)}^2}$ なので、$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$。

あとはこれを $0$ から $1$ まで積分するだけ、と見通す。

① 定積分に直す。 $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ とみると

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+(k/n{)}^2}={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$$

② 積分する。 $\frac{1}{1+x^2}$ の原始関数は $\arctan x$(逆正接)。

$${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=[\arctan x{]}_0^1=\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi }{4}-0=\frac{\pi }{4}$$

まとめ:$\frac{1}{n}\sum f(\frac{k}{n})$ は区分求積法で ${\int }_0^{1}f$。$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ の積分は $\arctan x$ で、$\arctan 1=\frac{\pi }{4}$。和の形から積分を見抜くのがすべて。$\frac{k}{n}$ が積分変数 $x$、$\frac{1}{n}$ が $dx$ に対応する。

発展 — 一歩先へ。 区分求積法は、そもそも定積分の定義そのもの。「幅 $\frac{1}{n}$ の短冊を足し、幅を $0$ に近づける」極限が積分だ。$\frac{k}{n}$ が積分変数 $x$、$\frac{1}{n}$ が $dx$ に対応する。

答え $\frac{\pi }{4}=\arctan 1$ は、ライプニッツの級数 $\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$ とも結びつく。$\frac{1}{1+x^2}$ を等比級数に展開して項別積分すると、この交代級数が出てくる。

和の形を見て「これは積分だ」と気づけるかがすべて。逆に、積分を和で近似すれば数値計算になる。和と積分は、離散と連続の同じものの両面だ。

別解

別解 — 積分を三角置換で計算する(得意な人向けの視点)。 区分求積で ${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$ に直したあと、この積分をなぜ $\arctan$ が出るのか、置換で確かめられる。

$x=\tan \theta$ とおく。$dx=\frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta$、$1+x^2=1+{\tan }^2\theta =\frac{1}{{\cos }^2\theta }$。だから

$$\frac{1}{1+x^2}dx={\cos }^2\theta \cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }d\theta =d\theta .$$

区間は $x:0\to 1$ に対して $\theta :0\to \frac{\pi }{4}$($\tan \frac{\pi }{4}=1$)。よって

$${\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx={\int }_0^{\pi /4}d\theta =\frac{\pi }{4}.$$

$\arctan x$ を原始関数として使う本解と同じ。$x=\tan \theta$ の置換で $1+x^2$ が $\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ に化け、面倒な分数が消えて $\int d\theta$ になる。$\arctan$ の正体が「$\tan$ の逆」だと、この置換ではっきり見える。